Bài 102165

Question

Chứng minh rằng không thể biểu diễn bất kỳ một số nguyên tố nào thành tổng bình phương của $2$ số tự nhiên theo $2$ cách khác nhau.

score 0 · Answer 1

Giả sử ta đã biểu diễn được số nguyên tố p thành tổng bình phương của 2 số tự nhiên theo 2 cách khác nhau : $ p = {a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} $                 (*)
Với $ a,b,c \in N,a \ne c,a \ne d.$
ta suy ra
$ \begin{array}{l}
{p^2} = ({a^2} + {b^2})({c^2} + {d^2})\\
\Leftrightarrow {p^2} = {(ac + bd)^2} + {(ad - bc)^2} & & & (1)
\end{array} $
hoặc $ {p^2} = {(ad + bc)^2} + {(ac - bd)^2} (2) $
Từ (1), ta có :
$ {p^2} \ge {(ac + bd)^2} $

Mặt khác :
$\begin{array}{l}
(ac + bd)(ad + bc) = ({a^2} + {b^2})cd + ({c^2} + {d^2})ab
= (ab + cd)p\\
\Rightarrow (ac + bd)(ad + bc) \vdots p\\
\Rightarrow ac + bd \vdots p \vee ad + bc \vdots p\\
\end{array} $
a.    Xét khả năng $ ac + bd \vdots p $ $ \Rightarrow {(ac + bd)^2}{\kern 1pt} \vdots {p^2} $
Nhưng theo trên thì $ $ $ 0 < {(ac + bd)^2}{\kern 1pt} \le {p^2} $ $ $ do đó : $ {(ac + bd)^2}{\kern 1pt} = {p^2} $
Điều này xảy ra khi và chỉ khi :
$ \begin{array}{l}
ad - bc = 0
\Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d} & & & (3)
\end{array} $
Từ (*) ta suy ra rằng :
$ a > c \Rightarrow b < d \Rightarrow \frac{a}{c} > 1,\frac{b}{d} < 1 $ (3) vô lý
b.    Với $ ad + bc \vdots p $
Giải tương tự như trường hợp trên có $\frac{a}{b} = \frac{d}{c}$ kết hợp với (*) suy ra điều vô lý
Vậy (*) không thể xảy ra. Ta có đpcm

Bài 102165

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102165

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan