|
|
Dùng phương pháp quy nạp:
• Khi $ n = 3$ ta có $3! = 6 > {2^2} = 4 $ (đúng)
• Giả sử bài toán đúng với $ n = k,\,\,k \in \,{Z^ + } ;k \ge 3 $ , nghĩa là phải chứng minh: $ k! > {2^{k - 1}} $
• Ta chứng minh bài toán đúng khi $ n = k + 1 $ , nghĩa là: $ (k + 1)! > \,{2^{k.}} $
Nhân 2 vế của (1) với $ \left( {{\rm{k}} + {\rm{1}}} \right) $ Ta có:
$ k!(k + 1) > {2^{k - 1}}(k + 1) $
Vì khi $ k \ge 3\, \Rightarrow \,\,\,\,k + 1 \ge 4 > 2\,\,\Rightarrow \,{2^{k - 1}}(k + 1)\, > {2^{k + 1}}.2 = {2^k} $ .
Vậy $ (k + 1)! > {2^k} $ .
Ta kết luận: $ n! > {2^{n - 1}}\,\forall \,n\, \in \,{Z^ + },\,\,n \ge \,3. $
|