|
|
Xét số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $ 1 \le \,k < n - 1 $
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow n - k - 1 > 0\, \Leftrightarrow \,nk - {k^2} - k > 0\\
\Leftrightarrow nk - {k^2} + n - k - n > 0\\
\Leftrightarrow \,n(k + 1) - k(k + 1) > n\\
\Leftrightarrow \,(k + 1)(n - k) > n & &
\end{array} $
Lần lượt cho $ {\rm{k }} = {\rm{ 1}},{\rm{2}},{\rm{3}}, \ldots ,\left( {{\rm{n}} - {\rm{2}}} \right). $ Ta có
$ \begin{array}{l}
n > 2. \\{\rm{2(n - 1)}}\,{\rm{ > n}}\\
{\rm{3(n - 2)}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{n}}\\
{\rm{4(n - 3)}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{n}} &
\end{array} $
$\begin{array}{l}\\
...............\\
(n - 1)\left[ {n - (n - 2)} \right] > n\\
Từ đó suy ra: 2.3.4...\,(n - 1).2.3.4\,...\,\,(n - 1) > {n^{n - 2}}\\
\Leftrightarrow \left[ {2.3.4\,...\,\,{{(n - 1)}^2}} \right] > {n^{n - 2}}\,\,\, \Leftrightarrow \,{\left[ {\left( {n - 1} \right)!} \right]^2}
\end{array} $
Nhân 2 vế với $ {n^2}$, ta có: ${(n!)^{2\,}}>{n^n} (đpcm)$
|