Bài 101520

Question

Cho hình lập phương

$ABCD$ .

$A_1B_1C_1D_1$ có cạnh băng

$2$ . Gọi

$E, F$ tương ứng là các trung điểm của các cạnh

$AB$ và

$DD_1$

$1$ . Chứng minh rằng đường thẳng

$EF$ song song với mặt phẳng

$\left( BDC_1 \right)$ và tính độ dài đoạn thẳng

$EF$

$2$ . Gọi

$K$ là trung điểm của đoạn

$C_1D_1$ . Tính khoảng cách từ đỉnh

$C$ đến mặt phẳng

$(EKF)$ và xác định góc giữa hai đường thẳng

$EF$ và

$BD$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 3:45:52 PM

Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn

$Axyz$ sao cho

$B\left( {2,0,0} \right);D\left( {0,2,0} \right);{A_1}\left( {0,0,2} \right)$ . Như vậy

$E\left( {1,0,0} \right);F\left( {0,2,1} \right);{C_1}\left( {2,2,2} \right)$

$1$ .

$\overrightarrow {BD} \left( { - 2,2,0} \right); \overrightarrow {D{C_1}} \left( {2,0,2} \right)$ ;

$\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {D{C_1}} } \right] = \left( {4,4, - 4} \right)$
Mặt phẳng

$\left( {BD{C_1}} \right)$ có vecto pháp tuyến là

$\overrightarrow v = \left( {1,1, - 1} \right)$ , do đó có phương trình

$x + y - z - 2 = 0 \left( 1 \right)$
Dễ thấy

$E(1, 0, 0)$ có tọa độ không thỏa mãn

$(1)$

$\Rightarrow E \notin \left( {B{C_1}D} \right)$
Mà

$\overrightarrow {{\rm{E}}F} = \left( { - 1,2,1} \right);\overrightarrow {{\rm{E}}F} .\overrightarrow v = - 1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{E}}F} \bot \overrightarrow v \\ \Rightarrow {\rm{E}}F//\left( {BD{C_1}} \right);$

${\rm{E}}F = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} = \sqrt 6$

$2. K$ là trung điểm của

${C_1}{D_1} \Rightarrow K\left( {1,2,2} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {EK} = \left( {0,2,2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {EK} ,\overrightarrow {{\rm{E}}F} } \right] = \left( { - 2, - 2,2} \right)$
Suy ra mặt phẳng

$(EKF)$ có vectơ pháp tuyến là

$\left( { - 1, - 1,1} \right)$ và có phương trình:

$- x - y + z + 1 = 0$
Khoảng cách từ

$C$ đến mặt phẳng

$(EKF)$ là

$\frac{{| - 2 - 2 + 0 + 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^1} + {1^2}} }} = \sqrt 3$
Lại có

$\left[ {\overrightarrow {{\rm{EF}}} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\left| {_2^2{\rm{ }}\left. {{}_2^2} \right|,\left| {_1^0{\rm{ }}\left. {{}_{ - 1}^{ - 2}} \right|,} \right.\left| {_{ - 1}^{ - 2}{\rm{ }}\left. {{}_2^2} \right|} \right.} \right.} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {{\rm{EF}}} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt {12}$
Gọi

$\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng

$EF$ và

$BD$ thì

$c{\rm{os}}\varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{\rm{EF}}} ,\overrightarrow {BD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{\rm{EF}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = {30^0}$

Bài 101520

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101520

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan