Bài 101318

Question

Cho tam diện ba góc vuông $Oxyz$, Trên ba cạnh $Ox, Oy, Oz$ ta lần lượt lấy các điểm $A, B, C$ sao cho $OA = a, OB = b, OC = c$. Trong đó $a, b, c$ là ba số dương. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $(ABC)$.
$1$. Chứng minh rằng $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Tính $OH$ theo $a, b, c$
$2$. Chứng tỏ rằng ${\left( {{S_{ABC}}} \right)^2} = {\left( {{S_{OAB}}} \right)^2} + {\left( {{S_{OBC}}} \right)^2} + {\left( {{S_{OCA}}} \right)^2}$. Với ${S_{ABC}};{S_{OAB}};{S_{OCA}}$ lần lượt là diện tích của tam giác $ABC, OAB, OBC, OCA$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 10:42:27 AM

$1$. Do $OC \bot \left( {xOy} \right) \Rightarrow OC \bot AB$$OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot AB$. Từ đó $AB \bot \left( {OCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD$
Tương tự $AC \bot \left( {OBH} \right) \Rightarrow AC \bot BH \Rightarrow H$ là trực tâm của tam giác ABC.
Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông $COD$ ta có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}}$
Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông $AOB$ ta có: $\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}$
Từ đó ta có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{abc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}$

$2$. $S_{OAB}^2 = {\left( {\frac{1}{2}.AB.OD} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.A{B^2}.O{D^2}$
Mặt khác trong tam giác vuông $OCD$ có $O{D^2} = DC.DH$
Vậy $S_{OAB}^2 = \frac{1}{2}.AB.CD.\frac{1}{2}.AB.DH = {S_{ABC}}.{S_{HBC}}$
Tương tự $S_{OBC}^2 = {S_{ABC}}.{S_{HBC}}$
$S_{OAC}^2 = {S_{ABC}}.{S_{HAC}}$
Cộng lại ta được $S_{OAB}^2 + S_{Obc}^2 + S_{OAC}^2 = {S_{ABC}}\left( {{S_{HAB}} + {S_{HBC}} + {S_{HCA}}} \right) = S_{ABC}^2$(đpcm)

Bài 101318

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101318

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan