Bài 101054

Question

Cho tam giác $ABC$ bất kỳ với $3$ góc ở đỉnh là $A, B, C$ đều nhọn. Chứng minh rằng
$\frac{2}{3}\left( \sin A + \sin B + \sin C\right) + \frac{1}{3}\left( \tan A + \tan B + \tan C \right) > \pi $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 3:41:58 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Xét $f\left( x \right) = \frac{2}{3}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{1}{3}tgx - x; (0 < x < \frac{\pi }{2})\\\Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{2}{3}c{\rm{os}}x + \frac{1}{3}.\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} - 1=\frac{1}{3}(2\cos x+1)(cosx-1)^2>0 \forall x \in(0,\frac{\pi }{2})$
Mà $f(0)=0$ nên $f\left( x \right)>0 \forall x \in(0,\frac{\pi }{2})$
$\Rightarrow \frac{2}{3}\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) + \frac{1}{3}\left( {tgA + tgB + tgC} \right)$
$ = \left( {\frac{2}{3}\sin A + \frac{1}{3}tgA} \right) + \left( {\frac{2}{3}\sin B + \frac{1}{3}tgB} \right) + \left( {\frac{2}{3}\sin C + \frac{1}{3}tgC} \right) > A + B + C = \pi $ (đpcm)

Đăng bài 25-04-12 03:41 PM

hoàng anh thọ
15 1

175K 551K

Bài 101054

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101054

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan