Bài 101034

Question

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’ (AA’, BB’, CC’, DD’$ song song và $AC$ là đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = a, AD = 2a$, $AAA' = a\sqrt 2 $. $M$ là một điểm thuộc đoạn $AD$, $K$ là trung điểm của $B’M$.
$1$. Đặt $AM = m$. Tính thể tích khối tứ diện $A’KID$ theo $a$ và $m$, trong đó $I$ là tâm của hình hộp. Tìm vị trí của điểm $M$ để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất,
$2$. Khi $M$ là trung điểm của $AD$:
$a)$ Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng $(B’CK)$ là hình gì. Tính diện tích thiết diện đó theo $a$.
$b)$ Chứng minh rằng đường thẳng $B’M$ tiếp xúc với mặt cầu đường kính $AA’$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 3:17:15 PM

$1$. Ta có mặt phẳng $(KID)$ trùng với mặt phẳng $AB’C’D$ nên khoảng cách $h$ từ $A’$ đến mặt phẳng $KID$ chính là khoảng cách từ $A’$ đến $AB’$
Xét tam giác vuông $AA’B’$ ta có: $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

${S_{\Delta DIK}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta B'MD}};{S_{\Delta B'MD}} = \frac{{2a - m}}{{2a}}{S_{\Delta AB'D}}$
${S_{\Delta AB'D}} = \frac{1}{2}AB'.AD = {a^2}\sqrt 3 \Rightarrow {S_{\Delta DIK}} = \frac{{a\sqrt 3 \left( {2a - m} \right)}}{8}$
Vậy ${V_{A'KID}} = \frac{{{a^2}\left( {2a - m} \right)\sqrt 2 }}{{24}}$${V_{A'KID}}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2a – m đạt giá trị lớn nhất, mà $0 \le m \le 2a$nên ${V_{A'KID}}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $m = 0$, lúc đó $M$ chính là điểm $A$.

$2$. Ta có phương trình mặt phẳng $(B’CK)$ khi $M (a, a, 0)$ là $x + y + \sqrt 2 z - 2a = 0$ giao điểm $N$ của $AA’$ với mặt phẳng $(B’CK)$ là $N\left( {a,0,\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)$ ($N$ là trung điểm $AA'$). Vậy thiết diện của hình hộp cắt bởi $(B’CK)$ là hình thang $B’CMN$ .
${S_{B'CMN}} = {S_{B'CM}} + {S_{B'MN}}$
Mà ${S_{B'CM}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {B'M} ,\overrightarrow {B'C} } \right]} \right| = {a^2}\sqrt 2 $ và ${S_{B'MN}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {B'M} ,\overrightarrow {B'N} } \right]} \right| = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$ nên ${S_{B'CMN}} = \frac{{3{a^2}\sqrt 2 }}{2}$

Tính khoảng cách từ $N$ đến $B’M$ ta được $d = \frac{{2{S_{B'MN}}}}{{MN}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{\rm{AA'}}}}{2}$. Vậy $B’M$ tiếp xúc với mặt cầu đường kính $AA’$

Bài 101034

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101034

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan