Hướng dẫn
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+4ax>0\\ 2x-2a-1>0 \end{array} \right.$
Khi đó ta có phương trình đã cho tương đương
$\log\frac{x^2+4ax}{2x-2a-1}=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x^2+4ax=2x-2a-1 \\
2x-2a-1>0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+2x(2a-1)+(2a+1)=0(*) \\ x>\frac{2a+1}{2}(**) \end{cases}$.
Đề bài thỏa mãn khi hệ trên chỉ có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm nhưng chỉ có 1 nghiệm thỏa mãn (**).
Xét $\Delta'_*=(2a-1)^2-(2a+1)=4a^2-6a$
(*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta_*\geq 0\Leftrightarrow 4a^2-6a\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a\leq 0\\a\geq \frac{3}{2} \end{array} \right.$
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì PT (*) có nghiệm
$x=1-2a$ với $\left[ \begin{array}{l} a=0\\a=\frac{3}{2}\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1\\x=-2 \end{array} \right.$
So sánh với (**) ta thấy chỉ có nghiệm $x=1$ thỏa mãn.
Trường hợp này ta tìm được a=0.
+ Nếu (*) có 2 nghiệm nhưng chỉ có 1 nghiệm thỏa mãn (**).
Khi đó ta có $x_{1;2}=1-2a\pm\sqrt{4a^2-6a}$ và $\left[\begin{array}{l} a\leq 0\\a\geq \frac{3}{2} \end{array} \right.$
$\Rightarrow x_1>\frac{2a+1}{2}>x_2$
$\Leftrightarrow 1-2a+\sqrt{4a^2-6a}>\frac{2a+1}{2}>1-2a-\sqrt{4a^2-6a}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a+1-2+4a<2\sqrt{4a^2-6a}\\ 2\sqrt{4a^2-6a} >2-4a-1-2a\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a-1<2\sqrt{4a^2-6a}\\1-6a<2\sqrt{4a^2-6a} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow |6a-1|<2\sqrt{4a^2-6a} $
$\Leftrightarrow (6a-1)^2<4(4a^2-6a)$ (do cả 2 vế đều không âm)
$\Leftrightarrow 20a^2+12a+1<0\Rightarrow \frac{-1}{2}< a<\frac{-1}{10}$
Kết hợp cả 2 trường hợp vậy giá trị a cần tìm là
$\left[ \begin{array}{l}a=0\\\frac{-1}{2}< a<\frac{-1}{10}\end{array} \right.$