Bài 100903

Question

Cho hàm số $y = 2{x^3} + 3\left( {m - 3} \right){x^2} + 11 - 3m\left( {{C_m}} \right)$
$1$. Cho $m = 2$. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua $A\left( {\frac{{19}}{{12}};4} \right)$ tiếp xúc với đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ của hàm số.
$2$. Tìm $m$ để hàm số có hai cực trị. Gọi ${M_1},{M_2}$ là các điểm cực trị, tìm $M$ để ${M_1},{M_2}$ và $B(0; -1)$ thẳng hàng.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 10:42:15 AM

$1$. $\left( {{C_2}} \right)$ có phương trình $y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5 \Rightarrow y' = 6{x^2} - 6x$.
Tiếp tuyến $(d)$ với $\left( {{C_2}} \right)$tại $M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( {{C_2}} \right)$ có phương trình:
$y = \left( {6x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + 2x_0^3 - 3x_0^2 + 5 $
$\Leftrightarrow y = \left( {6x_0^2 - 6{x_0}} \right)x - 4x_0^3 + 3x_0^2 + 5$
$(d)$ đi qua $A\left( {\frac{{19}}{{12}};4} \right)\Leftrightarrow 4 = \frac{{19}}{2}\left( {x_0^2 - {x_0}} \right) - 4x_0^3 + 3x_0^2 + 5 $
$\Leftrightarrow 8x_0^3 - 25x_0^2 + 19{x_0} - 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {x_0} = 1,{x_0} = 2,{x_0} = \frac{1}{8}$
Thay ${x_0}$tìm được vào phương trình của $(d)$ ta được $3$ tiếp tuyến:
$\left( {{d_1}} \right):y = 4$
$\left( {{d_2}} \right):y = 12x - 15$
$\left( {{d_3}} \right):y = - \frac{{21}}{{32}}x + \frac{{645}}{{128}}$

$2$. $y = 2{x^3} + 3\left( {m - 3} \right){x^2} + 11 - 3m \left( {{C_m}} \right)$ có $2$ điểm cực trị $ \Leftrightarrow y' = 6x\left( {x + m - 3} \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow m \ne 3$
Thực hiện phép chia $y$ cho $y’$ ta có thể viết $y = \frac{1}{6}.y'.\left( {2x + m - 3} \right) - {\left( {m - 3} \right)^2}x + 11 - 3m$
Từ đó rút ra $y = - {\left( {m - 3} \right)^2}x + 11 - 3m$ là phương trình đường thẳng qua $2$ điểm cực trị ${M_1},{M_2}$
${M_1},{M_2}$, $B(0; -1)$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow B\left( {0; - 1} \right)$ có tọa độ thỏa mãn $y = - {\left( {m - 3} \right)^2}x + 11 - 3m \Leftrightarrow- 1 = 11 - 3m \Leftrightarrow m = 4$

Bài 100903

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100903

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan