Bài 100379

Question

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $I$ ($A$ đối diện với $C$). Các nửa đường thẳng $Ax, Cy$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm $M$ không trùng với $A$ trên $Ax$, cho điểm $N$ không trùng với $C$ trên $Cy$. Đặt $AM = m, CN = n$.
$1$. Tính thể tích của hình chóp $B.AMNC$ (đỉnh $B$, đáy $AMNC$).
$2$. Tính $MN$ theo $a, m, n$ và tìm điều kiện đối với $a, m, n$ để góc $\widehat {MIN}$ là góc vuông.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 5:16:19 PM

$1$: Do $ABCD$ là hình vuông nên $BI \bot AC{\rm { do}} Ax \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AM \bot BI$. Do đó $BI \bot AC$ và $ AM\Rightarrow BI \bot \left( {AMNC} \right)$
$\Rightarrow {V_{BAMNC}} = \frac{1}{3}BI. S_{AMNC} =$ $\frac{1}{3}BI.\frac{{AM + NC}}{2}.AC = \frac{1}{3}.B{I^2}.\left( {m + n} \right)$
$=\frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\left( {m + n} \right) = \frac{{{a^2}\left( {m + n} \right)}}{6}$

$2$: Hình $AMNC$ là hình thang vuông$(\widehat A = \widehat C = {90^0})$, với hai đáy có độ dài $m, n$, do đó $ M{N^2} = A{C^2} + (m - n) = 2{a^2} + {(m - n)^2} \Rightarrow MN = \sqrt {2{a^2} + {{\left( {m - n} \right)}^2}}$
Mặt khác $M{I^2} = {m^2} + A{I^2} = {m^2} + \frac{{{a^2}}}{2},{\rm{ N}}{{\rm{I}}^2} = {n^2} + \frac{{{a^2}}}{2} $
Do đó $\widehat {MIN} = {90^0} \Leftrightarrow M{N^2} = M{I^2} + N{I^2} \Leftrightarrow 2{a^2} + {\left( {m - n} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {a^2} $
$\Leftrightarrow {a^2} - 2mn = 0$
Vậy ${a^2} - 2mn = 0$ là điều kiện cần tìm

Bài 100379

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100379

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan