Bài 100364

Question

Cho tam giác cân $ABC, AB = AC.$ Một điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ABC$ tại $A$ ($M$ không trùng với điểm $A$).
$1.$ Tìm quỹ tích trọng tâm $G$ và trực tâm $H$ của tam giác $MBC$.
$2.$ Gọi $O$ là trực tâm của tam giác $ABC$, hãy xác định vị trí của $M$ để thể tích tứ diện $OHBC$ đạt giá trị lớn nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 4:24:12 PM

$1.$ Kí hiệu $d$ là đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại $A, D$ là trung điểm $BC$. Ta thấy trọng tâm $G$ nằm trên $DM$ và chia $DM$ theo tỉ số
$DG : DM$ = $\frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {DG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DM} \Rightarrow G$ là ảnh của $M$ trong phép vị tự tâm $D$, tỉ số $\frac{1}{3}$. Mà $M$ chạy trên $d$ $ \Rightarrow G$ chạy trên đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép vị tự này. Như vậy quỹ tích $G$ là đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trọng tâm $\Delta ABC$.

Vì $O$ là trực tâm$\Delta ABC$ nên $CO \bot AB$. Mà $CO \bot MA \Rightarrow CO \bot (MAB) \Rightarrow CO \bot MB$. Nhưng $H$ là trực tâm$\Delta MBC$ nên $CH \bot MB$, do đó theo định lý $3$ của đường thẳng vuông góc ta có $MB \bot OH$. Tương tự như vậy ta cũng chứng minh được: $MC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {MBC} \right) \Rightarrow OH \bot HD \Rightarrow \widehat {DHO} = {90^0} \Rightarrow $ quỹ tích $H$ là đường tròn đường kính $DO$ vẽ trong mặt phẳng $(d, D)$

$2$: Dễ thấy$\left( {MDA} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên đường cao $HH’$ của $\Delta HDO$ cũng là đường cao của hình chóp $HBOC$. Hình chóp này có đáy $BOC$ cố định nên sẽ có thể tích lớn nhất $ \Leftrightarrow HH'$ lớn nhất $ \Leftrightarrow HH' = \frac{1}{2}DO\Leftrightarrow HDO$ là tam giác vuông cân $ \Leftrightarrow \widehat {HDO} = {45^0}$$ \Leftrightarrow \Delta AMD$ vuông cân ở A $ \Leftrightarrow AM = AD$. Vậy muốn tứ diện $OHBC$ có thể tích lớn nhất, cần chọn $M$ trên $d$ sao cho $AM = AD$.

Bài 100364

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100364

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan