Bài 100280

Question

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho $(P):x + 2y - z + 5 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{{x + 3}}{2} = y + 1 = z - 3$, điểm $A( -2; 3; 4)$. Gọi $d'$ là đường thẳng nằm trên $(P)$ đi qua giao điểm của $( d)$ và $(P)$ đồng thời vuông góc với $d$. Tìm trên $d'$ điểm $M$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.

score 0 · Answer 1

Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2t - 3\\
y = t - 1\\
z = t + 3
\end{array} \right.$
Gọi I là giao điểm của (d) và (P) $ \Rightarrow I\left( {2t - 3;t - 1;t + 3} \right)$
Do $I \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - 3 + 2(t - 1) - (t - 3) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( { - 1;0;4} \right)$
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u= (2;1;1)$, mp( P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n =\left( {1;2; - 1} \right)$
$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 3;3;3} \right)$. Gọi $\overrightarrow u_\Delta $ là vectơ chỉ phương của $\Delta $ $ \Rightarrow \overrightarrow u_\Delta= \left( { - 1;1;1} \right)$
$ \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - u\\
y = u\\
z = 4 + u
\end{array} \right.$ . Vì $M \in \Delta \Rightarrow M\left( { - 1 - u;u;4 + u} \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AM} \left( {1 - u;u - 3;u} \right)$
AM ngắn nhất $ \Leftrightarrow AM \bot \Delta $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow - 1(1 - u) + 1(u - 3) + 1.u = 0$ $ \Leftrightarrow u = \frac{4}{3}$.
Vậy $M\left( {\frac{{ - 7}}{3};\frac{4}{3};\frac{{16}}{3}} \right)$

Bài 100280

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100280

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan