Bài 2:${\log _{x - 1}}(x + 1) > {\log _{{x^2} - 1}}(x + 1)$ (2)
Điều kiện: $\begin{cases}x-1>0 \\ x - 1 \ne 1 \\ {x^2} - 1 \ne 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\ x \ne 2 \\ x \ne \sqrt 2 \end{cases}$
\[(2) \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{x + 1}}(x - 1)}} > \frac{1}{{{{\log }_{x + 1}}({x^2} - 1)}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{x + 1}}(x - 1)}} > \frac{1}{{{{\log }_{x + 1}}(x - 1) + 1}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{x + 1}}(x - 1).{\rm{[}}{{\log }_{x + 1}}(x - 1) + 1{\rm{]}}}} > 0\]
\[ \Leftrightarrow {\log _{x + 1}}(x - 1) < - 1 \vee {\log _{x + 1}}(x - 1) > 0\]
$*{\log _{x + 1}}(x - 1) < - 1 \Leftrightarrow x - 1 < \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 < x < \sqrt 2$
So với điều kiện, ta được: $1 < x < \sqrt 2$
$*{\log _{x + 1}}(x - 1) > 0 \Leftrightarrow x - 1 > 1 \Leftrightarrow x > 2$
Vập tập nghiệm của bất phương trình (2) là: $(1;\sqrt 2 ) \cup (2: + \infty )$