7.ÁP BĐT Cauchy cho các số dương;VT$\geq3\sqrt[3]{\frac{abc}{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}$Ta phải CM:$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$(1)(luôn đúng)Đặt$a=y+z;b=x+z;c=x+y$(1)$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq8xyz$(luôn đúng theo cô-si)

7.Do tổng ba thừa số ở vế trái =$a+b+c\geq0$nên có các khả năng sauTH1:Nếu có 1 thừa số âm và 2 thừa số dương lúc này BĐT luôn đúngTH2: Nếu có 2 thừa số âm và 1 thừa số dương(điều này vô lí) vì tổng của 2 thừa số chẳng hạn $(a+b-c)+(b+c-a)=2b\geq0$TH3:Cả 3 thừa số đều không âmVT$\geq3\sqrt[3]{\frac{abc}{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}$(BĐT Cauchy)Ta phải CM:$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$(1)(luôn đúng)Đặt$a=y+z;b=x+z;c=x+y$(1)$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq8xyz$(luôn đúng theo cô-si)Dấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b=c$

8.BĐT đã cho$\Leftrightarrow(\frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab})(\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab})\geq0$$\Leftrightarrow \frac{a(b-a)}{(1+x^{2})(1+ab)}+\frac{b(a-b)}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq0$$\Leftrightarrow\frac{(b-a)^{2}(ab-1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)}\geq0$(*)(*)luôn đúng do $ab\geq1$$\Rightarrow$đpcmDấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b$ hoặc $ab=1$

8.BĐT đã cho$\Leftrightarrow(\frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab})\geq0$$\Leftrightarrow \frac{a(b-a)}{(1+x^{2})(1+ab)}+\frac{b(a-b)}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq0$$\Leftrightarrow\frac{(b-a)^{2}(ab-1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)}\geq0$(*)(*)luôn đúng do $ab\geq1$$\Rightarrow$đpcmDấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b$ hoặc $ab=1$

Đường đến Olympic toán quốc tế......

$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq max ((\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}.(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}.(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2})$

Bất đẳng thức

Đường đến Olympic toán quốc tế......

$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq max ((\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2};(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2};(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2})$

Bất đẳng thức

bđt

Cho các số thực dương thỏa mãn:$2(9z^{2}+16y^{2})=(3z+4y)xyz$Tìm min:$P=\frac{x^{2}}{x^{2}+2}+\frac{y^{2}}{y^{2}+3}+\frac{z^{2}}{z^{2}+4}+\frac{5xyz}{(x+2)(y+3)(z+4)}.$

Bất đẳng thức

bđt

Cho các số thực dương thỏa mãn:$2(9z^{2}+16y^{2})=(3z+4y)xyz$Tìm min: $P=\frac{x^{2}}{x^{2}+2}+\frac{y^{2}}{y^{2}+3}+\frac{z^{2}}{z^{2}+4}+\frac{5xyz}{(x+2)(y+3)(z+4)}.$

GTLN, GTNN

ĐK:...$(1)\Leftrightarrow (1-y)(\sqrt{x-y}-1)+(x-y-1)=(x-y-1)\sqrt{y}$$\Leftrightarrow (x-y-1)(\frac{1-y}{\sqrt{x-y}+1}+1-\sqrt{y})=0$$\Leftrightarrow (x-y-1)(1-y)(\frac{1}{\sqrt{x-y}+1}+\frac{1}{\sqrt{y}+1})=0$$\Leftrightarrow x=y+1 or y=1$(do(...)>0)*)$y=1$:(2)tt:$9-3x=0\Leftrightarrow x=3$*)$x=y+1$(2)tt:$2y^{2}+3y-2=\sqrt{1-y}$$\Leftrightarrow 2(y^{2}+y-1)=\sqrt{1-y}-y$$\Leftrightarrow(y^{2}+y-1)(\frac{1}{\sqrt{1-y}+y}+2)=0$$\Leftrightarrow y^{2}+y-1=0 \Leftrightarrow y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(t/m đk)$\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

ĐK:...$(1)\Leftrightarrow (1-y)(\sqrt{x-y}-1)+(x-y-1)=(x-y-1)\sqrt{y}$$\Leftrightarrow (x-y-1)(\frac{1-y}{\sqrt{x-y}+1}+1-\sqrt{y})=0$$\Leftrightarrow (x-y-1)(1-y)(\frac{1}{\sqrt{x-y}+1}+\frac{1}{\sqrt{y}+1})=0$$\Leftrightarrow x=y+1 or y=1$(do(...)>0)*)$y=1$:(2)tt:$9-3x=0\Leftrightarrow x=3$*)$x=y+1$(2)tt:$2y^{2}+3y-2=\sqrt{1-y}$$\Leftrightarrow 2(y^{2}+y-1)=\sqrt{1-y}-y$$\Leftrightarrow(y^{2}+y-1)(\frac{1}{\sqrt{1-y}+y}+2)=0$$\Leftrightarrow y^{2}+y-1=0 \Leftrightarrow y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(t/m đk)$\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$KL:....

phương trình

$5(1+\sqrt{1}+x^{3})= x^{2}(4x^{2}-25x+18)$

Phương trình vô tỉ

giải phương trình...

$5(1+\sqrt{1}+x^{3})= x^{2}(4x^{2}-25x+18)$

Phương trình vô tỉ

tích phân

\int\limits_{2\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x^{2}-1}dx

Tích phân

tích phân

$\int\limits_{2\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x^{2}-1}dx$

Tích phân

phần oxy hình học 10!!!

trong mặt phẳng oxy cho tam giác $ABC $có phương trình BC là:$x-2y-4=0$.gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên $AC,AI.$với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.biết $D(2;2), E(-1;-4)$, điểm B có hoành độ âm.tìm tọa độ điểm $A,B,C$

Hình học phẳng

phần oxy hình học 10!!!

trong mặt phẳng oxy cho tam giác $ABC $ có phương trình BC là:$x-2y-4=0$.gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên $AC,AI.$với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.biết $D(2;2), E(-1;-4)$, điểm B có hoành độ âm.tìm tọa độ điểm $A,B,C$

Hình học phẳng

hình học 10!!!

trong mặt phẳng oxy cho tam giác abc ngoại tiếp đường tròn tâm O, biết đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại D.gọi M là trung điểm BC.giả sử M(0;6) và phương trình AD:2X+Y+3=0.tìm tọa độ điểm A.biết điểm D có hoành độ âm

Hình học phẳng

hình học 10!!!

trong mặt phẳng oxy cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O, biết đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại D.gọi M là trung điểm BC.giả sử M(0;6) và phương trình AD:2x+y+3=0.tìm tọa độ điểm A.biết điểm D có hoành độ âm

Hình học phẳng

giải giúp mình bài oxy với ạ

trong mặt phẳng oxy cho tam giác abc ngoại tiếp đường tròn tâm I(1;1).đường thẳng qua A vuông góc với phân giác của góc B cắt BC tại H.giả sử H(-2/5;4/5) , C(-2;2).Tìm tọa độ điểm A

Hình học phẳng

giải giúp mình bài oxy với ạ

trong mặt phẳng oxy cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I(1;1).đường thẳng qua A vuông góc với phân giác của góc B cắt BC tại H.giả sử H(-2/5;4/5) , C(-2;2).Tìm tọa độ điểm A

Hình học phẳng

BĐT nha mn!!!

cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm $Max$ P=$ab+bc+ca+\frac{5}{2}((a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca})$

Bất đẳng thức

BĐT nha mn!!!

cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm $Max$ P=$ab+bc+ca+\frac{5}{2}[(a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca}]$

Bất đẳng thức

Đk: $x\ge 1$Ta có: $9x^2-14x+25=(3x+3+4\sqrt{2x-1})(3x+3-4\sqrt{2x-1})$Do đó :$pt\iff x(3x+3-4\sqrt{2x-1})=(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)$$\iff 3x^2+3x-4x\sqrt{2x-1}=2\sqrt{x-1}(x-2)-2(x-2)$$\iff 3x^2+5x-4-4x\sqrt{2x-1}=2\sqrt{x-1}(x-2)$$\iff 4x^2-4x\sqrt{2x-1}+2x-1=x^2-4x+4+2\sqrt{x-1}+x-1$$\iff (2x-\sqrt{2x-1})^2=(x-2+\sqrt{x-1})^2$Đến đây bạn tự giải tiếp nhé!

Đk: $x\ge 1$Ta có: $9x^2-14x+25=(3x+3+4\sqrt{2x-1})(3x+3-4\sqrt{2x-1})$Do đó :$pt\iff x(3x+3-4\sqrt{2x-1})=(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)$$\iff 3x^2+3x-4x\sqrt{2x-1}=2\sqrt{x-1}(x-2)-2(x-2)$$\iff 3x^2+5x-4-4x\sqrt{2x-1}=2\sqrt{x-1}(x-2)$$\iff 4x^2-4x\sqrt{2x-1}+2x-1=x^2-4x+4+2\sqrt{x-1}(x-2)+x-1$$\iff (2x-\sqrt{2x-1})^2=(x-2+\sqrt{x-1})^2$Đến đây bạn tự giải tiếp nhé!

Bài này hay!!!

Cho các số thực không âm phân biệt $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca=-1$ hoặc $a+b+c=-abc$.CMR:$\frac{-1}{2}\leq \Sigma \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2}$

Bất đẳng thức

Bài này hay!!!

Cho các số thực bất kì $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca=-1$ hoặc $a+b+c=-abc$.CMR:$\frac{-1}{2}\leq \Sigma \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2}$

Bất đẳng thức

$n+S(n)=2104\Rightarrow n<2014 \Rightarrow $ n có 4 chữ số Đặt $n=\overline{abcd},(a\neq0)$Do $n<2014 \Rightarrow a\leq2$TH2:$a=2$,ta có:$\overline{2bcd}+2+b+c+d=2014 \Rightarrow \overline{bcd}+b+c+d=12 $$\Rightarrow b=0;c=1;d=0,5(loại)$TH1:$a=1$,ta có:$\overline{1bcd}+1+b+c+d=2014\Rightarrow \overline{bcd}+b+c+d=1013$Do $b+c+d\leq27 \Rightarrow \overline{bcd}\geq 986 \Rightarrow b=9$$\Rightarrow \overline{9cd}+9+c+d=1013\Rightarrow \overline{cd}+c+d=104\Rightarrow \overline{cd}\geq86$$\Rightarrow$c=8 hoặc c=9*)$c=8\Rightarrow d=8$*)$c=9\Rightarrow d=2,5(loại)$vậy $n=1988$

$n+S(n)=2014\Rightarrow n<2014 \Rightarrow $ n có 4 chữ số Đặt $n=\overline{abcd},(a\neq0)$Do $n<2014 \Rightarrow a\leq2$TH2:$a=2$,ta có:$\overline{2bcd}+2+b+c+d=2014 \Rightarrow \overline{bcd}+b+c+d=12 $$\Rightarrow b=0;c=1;d=0,5(loại)$TH1:$a=1$,ta có:$\overline{1bcd}+1+b+c+d=2014\Rightarrow \overline{bcd}+b+c+d=1013$Do $b+c+d\leq27 \Rightarrow \overline{bcd}\geq 986 \Rightarrow b=9$$\Rightarrow \overline{9cd}+9+c+d=1013\Rightarrow \overline{cd}+c+d=104\Rightarrow \overline{cd}\geq86$$\Rightarrow$c=8 hoặc c=9*)$c=8\Rightarrow d=8$*)$c=9\Rightarrow d=2,5(loại)$vậy $n=1988$

Xét bất đẳng thức phụ : $\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\leq 2b-a\Leftrightarrow 5b^3-a^3\leq (2b-a)(ab+3b^2)\Leftrightarrow a^2b+ab^2\leq a^3+b^3\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0$ ( Đúng với mọi a,b duơng)Dấu bằng xảy ra khi a=b CHứng minh tt cho các phân thức còn lại rồi cộng lại ta có đpcm

Xét bất đẳng thức phụ : $\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\leq 2b-a$$\Leftrightarrow $$5b^3-a^3\leq (2b-a)(ab+3b^2)$$\Leftrightarrow $$a^2b+ab^2\leq a^3+b^3$$\Leftrightarrow$$ (a-b)^2(a+b)\geq 0$ ( Đúng với mọi a,b duơng)Dấu bằng xảy ra khi a=b CHứng minh tt cho các phân thức còn lại rồi cộng lại ta có đpcm