$P=(ab+bc+ca)+5 \left( \frac{a+b}{2}\sqrt{ab}+\frac{b+c}{2}\sqrt{bc}+\frac{c+a}{\sqrt{ca}}\right)$$\le (ab+bc+ca)+5\left(\frac{\dfrac{(a+b)^2}{4}+ab+\dfrac{(b+c)^2}{4}+bc+\dfrac{(c+a)^2}{4}+ca}{2} \right)$
$\Leftrightarrow 4P \le 4(ab+bc+ca)+5(a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca)$
$=9(ab+bc+ca)+5(a+b+c)^2 \le9.\frac{(a+b+c)^2}{3}+5(a+b+c)^2=8$
$\Rightarrow \max P=2\Leftrightarrow a=b=c=\frac 13$