Bài này hay!!!

Question

Cho các số thực bất kì

$a,b,c$ sao cho

$ab+bc+ca=-1$ hoặc

$a+b+c=-abc$ .

CMR:

$\frac{-1}{2}\leq \Sigma \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2}$

score 5 · Answer 1

Từ điều kiện đã cho suy ra

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=a^2b^2c^2+2$ ;

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=1+2a^2b^2c^2$ ;

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=-a^3b^3c^3$ .

Suy ra

$\sum a(b^2+1)(c^2+1)=abc(ab+bc+ca)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+1)$

$-(a^3+b^3+c^3)$

$=-4abc$ .

Từ đó có

$\sum\frac{a}{a^2+1}=\frac{\sum a(b^2+1)(c^2+1)}{a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2+1}$

$=\frac{-abc}{a^2b^2c^2+1}$ .

Suy ra

$\left| {\sum\frac{a}{a^2+1}} \right|\leq \frac{1}{2}$ .

1 Đáp án