Một cách chứng minh khácĐể đơn giản ta đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là A
BĐT $\Leftrightarrow 3-A\geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sum (1-\frac{a-bc}{a+bc})\geq \frac{3}{2} $
$\Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{a+bc}\geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{a(a+b+c)+bc}\geq \frac{3}{2} $
$\Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{(a+b)(a+c)} \geq \frac{3}{2} $
Đặt $(a;b;c)\rightarrow (\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z})$
BĐT cần chứng minh trở thành : $ \sum \frac{2x^2}{(x+y)(x+z)} \geq \frac{3}{2}$
Áp dụng $Cauchy-Schwart$ $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$
Ta có: $VT\geq 2. \frac{(x+y+z)^2}{\sum (x+y)(x+z) }=2.\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+xz+yz}$
$VT\geq \frac{2.(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}\geq \frac{3}{2}$
(Theo AM-GM $xy+xz+yz\leq x^2+y^2+z^2)$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. dấu bằng khi a=b=c=1/3