Một cách chứng minh khácĐể đơn giản ta đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là A
BĐT ⇔3−A≥32⇔∑(1−a−bca+bc)≥32
⇔∑2bca+bc≥32⇔∑2bca(a+b+c)+bc≥32
⇔∑2bc(a+b)(a+c)≥32
Đặt (a;b;c)→(1x;1y;1z)
BĐT cần chứng minh trở thành : ∑2x2(x+y)(x+z)≥32
Áp dụng Cauchy−Schwart x2a+y2b+z2c≥(x+y+z)2a+b+c
Ta có: VT≥2.(x+y+z)2∑(x+y)(x+z)=2.(x+y+z)2(x+y+z)2+xy+xz+yz
VT≥2.(x+y+z)2(x+y+z)2+(x+y+z)23≥32
(Theo AM-GM xy+xz+yz≤x2+y2+z2)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. dấu bằng khi a=b=c=1/3