Có lời giả rồi =)) Ai mún thử sức k

Question

$Cho : a,b,c \geq 0 và a+b+c=3$
CMR :

$\frac{a^{2}}{a + 2b^{2}} + \frac{b^{2}}{b+2c^{2}} + \frac{c^{2}}{c+2a^{2}} \geq 1$

score 8 · Answer 1

Ta có:

$\frac{a^2}{a+2b^2}=\frac{a(a+2b^2}{a+2b^2}-\frac{2b^2a}{a+2b^2}$ .

Xét:

$-\frac{2b^2a}{a+2b^2}\geq -\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}=-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a.ab.b}\geq -\frac{2}{9}(a+b+ab)$ . ( Cô-si cái ở mẫu )

Suy ra:

$\sum_{}^{}\frac{a^2}{a+2b^2}\geq (a+b+c)-\frac{2}{9}[2(a+b+c)+ab+bc+ca]\geq 3-\frac{2}{9}.9=1.$ (ĐPCM).

(Dễ dàng chứng minh

$ab+bc+ca\leq 3$ bằng cách bình phương

$a+b+c$ )

Bài toán xong!!!

thanks e :)) vote mạnh vào :)) – 111aze 03-03-16 07:32 PM

lm thật ak giỏi wa:D)))) – Yêu Tatoo 03-03-16 07:31 PM

๖ۣۜTQT☾♋☽ · Answer 2 · 8/7/2017 5:38:17 PM

Gọi P là VT.Ta có

$:P\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$

Cần

$CM:(a^2+b^2+c^2)^2\geq a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Đúng do

$:3(a^3+b^3+c^3)=(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\geq (a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2=9$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$

$(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)\geq(a^3+b^3+c^3)^2\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Trả lời 07-08-17 05:38 PM

๖ۣۜTQT☾♋☽
1

404K 483K

2 Đáp án