|
|
Tìm min, max bằng phương pháp hàm số
Ta có
$S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.
Đặt
$t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen
thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$
Do đó
$S = f(t) = \frac{2-2t}{t+2}$ và $f'(t) = -\frac{6}{(t+2)^2}<0 ,\quad \forall t.$
Do đó $f$ là hàm nghịch biến nên
$f\left ( \frac{1}{4} \right ) \le S \le f(0) \Rightarrow \frac{2}{3} \le S \le 1.$
$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$
$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$
|