logarit

Question

$\frac{log_{2} (x+1)^{2}-log_{3}(x+1)^{3}}{x^{2}-3x-4}>0$

$(x+1)log_{\frac{1}{2}}x + 3\geqslant 0$

score 1 · Answer 1

a) ĐK:

$x>-1$ .
Ta có:

$\frac{\log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}}{x^2-3x+4}>0$

$\Leftrightarrow \left[ \log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}\right](x+1)(x-4)>0$

$\Leftrightarrow (2\log_23-3)(x+1)(x-4)\log_3(x+1)>0$

$\Leftrightarrow x\in (-1,0)\bigcup (4,+\infty)$ .

kung dksrges – xintimmotnua_lov3 23-12-12 07:20 AM

score 2 · Answer 2

ĐK:

$x>0$ .
Bất phương trình đã cho tương đương với:

$3-(x+1)\log_2x\geq 0$
Đặt

$\log_2x=t$ thì bất phương trình trở thành:

$3-t(2^t+1)\geq 0$

$t(2^t+1)\leq 3$
Xét hàm số

$f(t)=t(2^t+1)$ trên

$R$ .
Nếu

$t<0$ thì

$f(t)<0<3$ .
Nếu

$t\geq 0$ thì

$f'(t)=2^t+1+t.2^t\ln 2>0$ nên

$f(t)$ đồng biến.
Ta có

$f(1)=3$ nên

$f(t)\leq 3\Leftrightarrow t\leq 1$ .
Tóm lại BPT

$f(t)\leq 3$ có nghiệm

$t\leq 1$ .
Vậy BPT đã cho có nghiệm

$x\in (0,2]$ .

2 Đáp án