|
|
a)
Ta có:
$\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2-\sin^22x+m\sin2x=1$
$\Leftrightarrow \sin^22x-m\sin2x-1=0$
Đặt: $\sin 2x=t,t\in[-1,1]$, suy ra: $t^2-mt-1=0$
Cách 1:
Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình
$\Rightarrow m=\frac{t^2-1}{t}$
Xét: $f(t)=\frac{t^2-1}{t}=1-\frac{1}{t}$
Ta có: $f'(t)=\frac{1}{t^2}>0$
Suy ra $f(t)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-1,0)$ và $(0,1)$.
Lập bảng biến thiên ta được: $m\in\mathbb{R}$
Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.
Cách 2: (không dùng đạo hàm)
Ta có: $\Delta=m^2+4>0\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm $t_1, t_2$.
Mà: $t_1t_2=1\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} |t_1|\le1\\|t_2|\le1 \end{array} \right.$, thỏa mãn.
Suy ra: $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.
|