Ta có: $\cos^215^0=1-\sin^215^0=1-\left (\frac{\sqrt{ 6}-\sqrt{ 2}  }{4}\right)^2=\frac{8+4\sqrt{3 } }{16}=\frac{(\sqrt{3 } +1)^2}{8}   $
Từ đó $\cos 15^0=\sqrt{ \frac{(\sqrt{ 3}+1)^2 }{8} } =\frac{\sqrt{ 3}+1 }{2\sqrt{ 2} }=\frac{(\sqrt{3 }+1)\sqrt{2 }}{4}=\frac{\sqrt{6 }+\sqrt{ 2}  }{4} $
$\tan15^0=\frac{\sin15^0}{\cos 15^0} =\frac{\sqrt{6 }-\sqrt{2 }  }{\sqrt{6 }+\sqrt{2 }  } =\frac{(\sqrt{6 }-\sqrt{ 2})^2  }{4}=2-\sqrt{ 3} $
$\cot 15^0=\frac{1}{2-\sqrt{3 } }=2+\sqrt{3 } $
Ta có: $2\sin 15^0.\cos 15^0=2.\frac{\sqrt{6 }-\sqrt{ 2}  }{4} .\frac{\sqrt{6 }+\sqrt{2 }  }{4} =\frac{1}{8}(6-2)=\frac{1}{2} =\sin 30^0$.

a) Ta chọn gốc $C$. Theo giả thiết thì có
$\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{CA}-m \overrightarrow{CB}  }{1-m}; \overrightarrow{CN}=\frac{CB}{1-n}; \overrightarrow{CP}=\frac{-p \overrightarrow{CA} }{1-p}$
nên: $\overrightarrow{CB}=(1-n)\overrightarrow{CN}, \overrightarrow{CA}=\frac{p-1}{p}\overrightarrow{CP}$
do đó: $\overrightarrow{CM}=\frac{p-1}{p(1-m)}\overrightarrow{CP}-\frac{m(1-n)}{1-m}\overrightarrow{CN}$
Điều kiện cần và đủ để ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng là:
$\frac{p-1}{p(1-m)}-\frac{m(1-n)}{1-m}=1\Leftrightarrow p-1-pm(1-m)=p(1-m)\Leftrightarrow mnp=1$
                                      
b) Ta chuyển về điều kiện thẳng hàng ở trên và điều kiện cùng phương với hình minh họa.
                            

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Gọi $10$ số tự nhiên từ $1$ đến $10$ viết theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1, a_2, ...., a_{10}$. Ta lập dãy mới $b_1, b_2, ...., b_{10} $ với:
$b_1 = a_1 + 1; b_2 = a_2 + 2; ...; b_{10} = a_{10} + 10$.
$b_i$ là tổng của $a_i$ với vị trí thứ $i$ mà nó đứng $(i = 1, 2, ..., 10)$.
Ta có:
$b_1 + b_2 + ... b_{10} = a_1 + a_2 + ... + a_{10} + 1 + 2 + ... + 10 = 2 (1 + 2 + ... + 10) = 110$
Vì $110$ là số chẵn nên không xảy ra trường hợp có $5$ số $b_i$ nào đó lẻ và $5$ số $b_j$ nào đó chẵn, hay nói cách khác số các $b_i$ chẵn và số các $b_j$ lẻ phải khác nhau. Do đó số các $b_i$ lẻ lớn hơn $5$ hoặc số các $b_j$ chẵn lớn hơn $5$. Mà từ $1$ đến $10$ chỉ có $5$ vị trí lẻ và $5$ vị trí chẵn nên theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số $b_i$ lẻ có chữ số tận cùng như nhau hoặc có hai số $b_j$ chẵn có chữ số cùng như nhau.

a) $\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log4 + 4\log \sqrt{2} = - \log8 + \log2 + \log4 = - \log8 + \log8 = 0$ ;         

b) $\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}$
$= \log \left (\frac{4}{9}.6. \sqrt{(\frac{9}{2})^3 } \right ) = \log \left (\frac{4}{9}.6.\frac{3^3}{2}. \sqrt{\frac{1}{2} } \right) =  \log \left (\frac{4}{9}.3^4. \frac{\sqrt{2} }{2}\right) = \log(18\sqrt{2})  $

c) $\log72 - 2\log \frac{27}{256}+ \log \sqrt{108} = \log(2^3.3^2) - \log \frac{3^6}{2^{16}} + \log \sqrt{2^2.3^3}  $
$= \log \left (2^3.3^2.\frac{2^{16}}{3^6}. 2.3^ \frac{3}{2} \right ) = \log \left (2^{20}.3^{- \frac{5}{2}} \right) = 20\log2 - \frac{5}{2}\log3$  

d) $\log \frac{1}{8} - \log0,375 + 2\log \sqrt{0,5625} = \log2^{-3} - \log (0,5^3.3) + 2\log \sqrt{0,5^4.3^2}$
$ = \log2^{-3} - \log2^{-3} - \log3 + 2\log2^{-2} + 2\log3 = \log2^{-4} + \log3 = \log \frac{3}{16}  $

Đặt $\frac{(y+z-x)x}{\lg x} = \frac{y(z+x-y)}{\lg y} = \frac{z(x+y-z)}{\lg z} = \frac{1}{t}$
Suy ra:
$\begin{cases}\lg x = tx (y+z-x) \\ \lg y = ty(z+x-y)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}y \lg x = txy (y+z-x) \\ x \lg y = txy (z+x-y) \end{cases}$
Từ đó ta có: $x \lg y +y \lg x = 2txyz$                    $(1)$
Lập luận tương tự:
                      $y \lg z + z \lg y = 2txyz$                   $(2)$
                      $z \lg x + x \lg z = 2txyz$                   $(3)$
Từ $(1), (2), (3)$ suy ra:
     $x \lg y + y \lg x = y \lg z + z \lg y = z \lg x + x \lg z$
$\Rightarrow \lg (x^y.y^x) = \lg (y^z.z^y) = \lg (z^x.x^z)$
$\Rightarrow x^y.y^x = y^z.z^y = z^x.x^z$

Ta có $\log_616 = 4\log_62 = \frac{4}{\log_26} = \frac{4}{1 + \log_23}$
Bây giờ phải tính $\log_23$ theo $a$, hãy biến đổi $\log_{12}27$ để làm xuất hiện $\log_23$
Ta có $a = \log_{12}27 = 3\log_{12}3 = \frac{3}{\log_312} = \frac{3}{1 + \log_34}$
              $= \frac{3}{1 + 2\log_32} = \frac{3}{1 + \frac{2}{\log_23} } = \frac{3\log_23}{2 + \log_23}   $
Từ đó $a(2 + \log_23) = 3\log_23 \Rightarrow \log_23 = \frac{2a}{3-a}$ (hiển nhiên thấy  $a \neq 3$).
Vậy $\log_616 = \frac{4}{1 + \frac{2a}{3-a} }= \frac{4 (3-a)}{3 + a}$

Điều kiện: $4.2^x-3>0.$ Phương trình đã cho tương đương với:
      $\log_2(4^x+15.2^x+27)=\log_2(4.2^x-3)^2$
$\Leftrightarrow 4^x+15.2^x+27=16.(2^x)^2-24.2^x+9$
$\Leftrightarrow 5.(2^x)^2-13.2^x-6=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2^x=- \frac{2}{5} \\2^x=3 \end{array} \right.$
Do $2^x>0$ nên $2^x=3\Leftrightarrow x=\log_23$  (thỏa mãn điều kiện).

ĐK: $ \left\{ \begin{array}{l} x\geq 1\\0<y\leq 2 \end{array} \right.$   
$(2)\Leftrightarrow 3(1+\log_3x)-3\log_3y=3\Leftrightarrow \log_3x=\log_3y\Leftrightarrow x=y.$   
Thay $y=x$ vào (1) ta có:   
$\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1\Leftrightarrow x-1+2-x+2\sqrt{(x-1)(2-x)}=1$   
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(2-x)}=0 \Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix}  x=1  \\   x=2 \end{matrix}} \right..$   
Vậy hệ có hai nghiệm là: $(x;y)=(1;1)$ và $(x;y)=(2;2)$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a) Ta có $\log_{54}168=\frac{\log_{7}168}{\log_{7}54} =\frac{\log_{7}(3.7.2^3)}{\log_{7}(2.3^3)}=\frac{\log_{7}3+1+3\log_{7}2}{\log_{7}2+3\log_{7}3}  $
(Ta phải tính $\log_{7}2$ và $\log_{7}3$ theo $a=\log_{7}12 $ và $b=\log_{12}24$)
Từ giả thiết $\left\{ \begin{array}{l} a=\log_{7}12 \\ b=\log_{12}24  \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\log_{7}(2^2.3)=2\log_{7}2+\log_{7}3  \\ ab=\log_{7}12.\log_{12}24=\log_{7}24    \end{array} \right.  $
Hay $\left\{ \begin{array}{l} a=2\log_{7}2+\log_{7}3  \\ ab=\log_{7}(2^3.3)=3\log_{7}2+\log_{7}3    \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log_{7}2=ab-a \\ \log_{7}3=3a-2ab  \end{array} \right.  $
Sau cùng ta được $     \log_{54}168=  \frac{(3a - 2ab) + 1 + 3 (ab - a)}{(ab - a) + 3 (3a- 2ab)} $
                                  $\Leftrightarrow \log_{54}168=\frac{ab+1}{a(8-5b)}$

b) Ta có $\log_{25}24=\log_{5^2}(2^3.3)=\frac{1}{2}(3\log_{5}2+\log_{5}3)$
(Ta phải tính $\log_{5}2 $ và $\log_{5}3 $ theo $a=\log_{6}15$ và $\log_{12}18)$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} a=\log_{6}15=\frac{\log_{5}15 }{\log_{5}6 }=\frac{1+\log_{5}3 }{\log_{5}2+\log_{5}3}                                                              (1)\\b=\log_{12}18=\frac{\log_{5}18 }{\log_{5}12 }= \frac{\log_{5}(2.3^2)}{\log_{5}(2^2.3)}=\frac{\log_{5}2+2\log_{5}3} {2\log_{5}2+\log_{5}3 }              (2)\end{array} \right.$  
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\left\{ \begin{array}{l} a=\frac{1+y}{x+y} \\ b=\frac{x+2y}{2x+y}  \end{array} \right.$ 
với  $\left\{ \begin{array}{l} x=\log_{5}2 \\ y=\log_{5}3  \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} ax+(a-1)y = 1\\ (2b-1)x+(b-2)y=0 \end{array} \right.$
$D =  \left| \begin{array}{l}a              a-1\\2b - 1      b-2\end{array} \right| $    =$-a-ab+2b-1$;
$D_{x} = \left| \begin{array}{l}1         a-1\\0         b-2\end{array} \right| $=  $b-2$;  
$D_{y}=\left| \begin{array}{l}a                     1\\2b-1      0\end{array} \right|$=  $1-2b$
 Vậy $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{b-2}{-a-ab+2b-1}=\frac{2-b}{a+ab-2b+1}   \\ y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{1-2b}{-a-ab+2b-1}=\frac{2b-1}{a+ab-2b+1}    \end{array} \right.  $   
Lúc đó, $\log_{25}24=\frac{1}{2}(3x+y)=\frac{1}{2}(\frac{6-3b+2b-1}{a+ab-2b+1})    $
Hay $\log_{25}24=\frac{1}{2}(\frac{5-b}{a+ab-2b+1})   $

Điều kiện : $ 0< x \ne 1 $.

a) $\log_x27 = 3 \Leftrightarrow x^3 = 27 = 3^3  \Leftrightarrow x = 3$  (thỏa mãn).

b) $\log_x \frac{1}{7} = - 1 \Leftrightarrow  x^{-1} = \frac{1}{7} = 7^{-1} \Leftrightarrow  x = 7$   (thỏa mãn).

c) $\log_x \sqrt{5} = - 4 \Leftrightarrow  x^{-4} = \sqrt{5} \Leftrightarrow  x = (\sqrt{5})^{-\frac{1}{4}}= 5^{-\frac{1}{8}} =\frac{1}{\sqrt[8]{5}}  $   (thỏa mãn).

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết