Chứng minh giúp mình bài này nhé

Question

Giả sử $\frac{x(y + z - x)}{\log x} = \frac{y(z+x-y)}{\log y} = \frac{z(x + y - z)}{\log z}$
Chứng minh rằng: $x^y.y^x = y^z.z^y = z^x.x^z$

Thu Hằng · Answer 1 · 7/19/2012 11:00:39 AM

Đặt $\frac{(y+z-x)x}{\lg x} = \frac{y(z+x-y)}{\lg y} = \frac{z(x+y-z)}{\lg z} = \frac{1}{t}$
Suy ra:
$\begin{cases}\lg x = tx (y+z-x) \\ \lg y = ty(z+x-y)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}y \lg x = txy (y+z-x) \\ x \lg y = txy (z+x-y) \end{cases}$
Từ đó ta có: $x \lg y +y \lg x = 2txyz$              $(1)$
Lập luận tương tự:
                      $y \lg z + z \lg y = 2txyz$                 $(2)$
                      $z \lg x + x \lg z = 2txyz$         $(3)$
Từ $(1), (2), (3)$ suy ra:
     $x \lg y + y \lg x = y \lg z + z \lg y = z \lg x + x \lg z$
$\Rightarrow \lg (x^y.y^x) = \lg (y^z.z^y) = \lg (z^x.x^z)$
$\Rightarrow x^y.y^x = y^z.z^y = z^x.x^z$

score 4 · Answer 2

Đặt $\frac{x(y+z-x)}{\log x}=\frac{y(z+x-y)}{\log y}=\frac{z(x+y-z)}{\log z}=\frac{1}{a}, a\in\mathbb{R}.$
Ta được: $\left\{ \begin{array}{l} \log x=ax(y+z-x)\\ \log y=ay(z+x-y) \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\log x=axy(y+z-x)\\ x\log y=axy(z+x-y) \end{array} \right.$
Suy ra: $x\log y+y\log x=2axyz.$                                 $(1)$
Tương tự ta có: $y\log z+z\log y=2axyz$                     $(2)$
                            $z\log x+x\log z=2axyz$                     $(3)$
Tử $(1),(2),(3)$ ta có:
      $x\log y+y\log x=y\log z+z\log y=z\log x+x\log z$
$\Leftrightarrow \log(x^y.y^x)=\log(y^z.z^y)=\log(z^x.x^z)$
$\Leftrightarrow x^y.y^x=y^z.z^y=z^x.x^z$

Hỏi	19-07-12 10:40 AM
Lượt xem	3485
Hoạt động	19-07-12 11:04 AM

Chứng minh giúp mình bài này nhé

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chứng minh giúp mình bài này nhé

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan