$y'=x^2+2ax+4(*)$
ycbt$\Leftrightarrow y'>0  \vee x\in R\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta'=a^2-4<0 \\ 1>0\end{cases}\Leftrightarrow a\in(-2;2)$

$y'=3.(2+sin2x^2)^2.(2+sin2x^2)'=6.sin4x.(2+sin2x^2)^2$

goi  $(\alpha)$ chứa (d) và vuông góc với $\Delta$
==>$(\alpha):x+4y-z-2=0$
gọi $I=\Delta \cap (\alpha)$
$I(t;1+4t;-1-t)\in \Delta$  mặt khác $I\in (\alpha)$ ==> $t+4+16t+1+t-2=0==>I(\frac{-1}{6};\frac{1}{3};\frac{-7}{6})$
gọi $H$ là hình chiếu của I lên d
có $IH$ qua I có VTPT $\overrightarrow{u_d}=[\overrightarrow{u_{\Delta}}  ,\overrightarrow{n_{(\alpha)}}]$
Gọi $H$ có toạ độ $\in IH  ; IH=3==> H==> d$ Qua $A,H$
       

a, Ta có tứ giác PMIO có $\widehat{PMH}=\widehat{MHI}=90^{0}$(theo giả thiết)  $==> DPCM$
b, Ta có MP\\AB(vì tứ giác PMIO là hình thang ) $==>cungCM=cungDQ(1)$ 
và AB vuông góc với CD (theo giả thiết)
$==>$MP vuông góc với CD  $==>cungCP=cung CM(2)$
 từ (1) và (2) $==>cungCP=cungQD$
Vì $C\in(O)$ nên $==>\widehat{CSP}=\frac{1}{2}cung(CP+AQ)=\frac{1}{2}cung(AQ+QD)=45^{0}$
c, xét $\triangle OIQ $ có  $Q=2OH=R$  $==>$ $\widehat{HQO}=30^{0}$         
                                                $\widehat{AOQ}=60^{0}  ==>cungAQ=cungAM=60^{0}$==>$\widehat{MPA}=30^{0}$
xét $\Delta MPH$và$\Delta MQP$ đồng dạng (g.g)==>$\frac{MH}{MP}=\frac{MP}{MQ}$hay $MH.MQ=MP^{2}$

Câu 1.$M(1;1;4) ;N(2;1;-5)    (\alpha):x+y-2=0        (\beta)  3x+4y-1=0$
Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu
gt$\Leftrightarrow \begin{cases}a+b-2=0 \\ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-4)^2=(a-2)^2+(b-1)^2+(c+5)^2 \end{cases}$
 

   $\Leftrightarrow \begin{cases}b=2-a \\a-9c =6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=2-a \\ c=(a-6)/9 \end{cases}(I)$


Lại có   $d(I;(\beta))=IM=R\Leftrightarrow \frac{|3a+4b-1|}{5}=\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-4)^2}$
Thế$(I)$ ta có      $\frac{-a+7}{5}=\sqrt{(a-1)^2+(a-1)^2+(a/9-14/3)^2}\Leftrightarrow $

Ta có$\sqrt[3]{6x+1}=8x^{3}-4x-1\Leftrightarrow6x+1+\sqrt[3]{6x+1}=8x^{3}+2x $(*)
đặt   $A=\sqrt[3]{6x+1}$  và  $B=2x$  Nên (*)  $\Leftrightarrow A^{3}+A=B^{3}+B\Leftrightarrow A=B$
$==>2x=\sqrt[3]{6x+1}\Leftrightarrow8x^{3}=6x+1 $  hay  $x_{1}=0,9396...$
                                                                                             $x_{2}=-0,766...$
                                                                                             $x_{3}=-0,1736...$  

$(4x-1)\sqrt[3]{2-8x^{3}}=2x \Leftrightarrow 2.2x\sqrt[3]{2-8x^{3}}=2x+\sqrt[3]{2-8x^{3}}$
Đặt       $2x=A$  và  $\sqrt[3]{2-8x^{3}}=B$ ==>$\begin{cases}2AB=A+B \\ A^{3}+B^{3}=2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}AB=1 \\ A+B=2 \end{cases}$ hay$\begin{cases}A=1 \\ B=1 \end{cases}$
$A=1   ==>x=1/2$

Cách làm thui nhé:)
Tính $AB,AC,BC$ có $\frac{KB}{AB}= \frac{KC}{AC}\rightarrow \overrightarrow{KB}=k\overrightarrow{BC}\rightarrow K$

Đặt   $x^2=t$
Ta có  pt$\Leftrightarrow t^2-2t+2-m=0(*)$
$\Delta'=m-1$ Điều kiện tồn tại 4 nghiệm $\begin{cases}\Delta'>0 \\ S=1>0;  P=2-m>0 \end{cases}\Leftrightarrow m\in(1;2)$
Goi $t_1, t_2$ là nghiệm của $(*)                    t_1=1+\sqrt\Delta'            t_2=1-\sqrt\Delta'          (t_1>t_2)$
thứ tự 4 nghiệm theo chiều tăng dần  $-\sqrt{t_1}  ;-\sqrt{t_2}  ;\sqrt{t_2}  ;\sqrt{t_1}$ tạo thành cấp số cộng
$\Leftrightarrow \begin{cases}-\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=2\sqrt{t_2} \\ -\sqrt{t_2}+\sqrt{t_1}= 2\sqrt{t_2}\end{cases}\Leftrightarrow t_1=9t_2\Leftrightarrow m=\frac{41}{25}$   

$M(a;0)  N(0,b)  (a.b\neq 0)\Rightarrow \Delta:  \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1  D(1;8)\in\Delta\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{8}{b}=1         \overrightarrow{MN}(-a;b)\rightarrow |MN|=\sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{2ab}\rightarrow MN_{min}\Leftrightarrow a=b=9$

$z'=a+bi$ là căn bậc hai của số phức $z\Leftrightarrow z'^2=z\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=\frac{1}{4} + \frac{\sqrt2i}{2}$
$\begin{cases}a^2-b^2=\frac{1}{4} \\ ab=\frac{\sqrt2}{4} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{\sqrt2}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$

$|z-1|+|z+1|=4   (*)$
Gọi $z=x+yi               x,y\in R$
$(*)\Leftrightarrow \sqrt{(x-1))^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}=4$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2+y^2}=4-\sqrt{(x+1)^2+y^2}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}4-\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq 0               (1) \\ 2.\sqrt{(x+1)^2+y^2}=x+4           (2) \end{cases}$
$(1)\Leftrightarrow (x+1)^2+y^2\leq 16$
$(2)\Leftrightarrow \begin{cases}x\geq-4 \\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}= 1   (3)\end{cases}$
$(3)$ biển diễn elip $E$có toạ độ đỉnh là  $A(-2;0)  B(2;0)   C(0;\sqrt3)  D(0;-\sqrt3)$ tập hợp các điểm $M(x;y)\in E$ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn $x\geq -4$
Điều kiện $(1)$ là tập hợp các điểm nằm trong đường tròn $(C)$ tâm $I(-1;0)$ bán kính $R=4$ $(C)$ bao cả $E$
bạn nên vè hình ra nhé
nên $(1)$ thoả mãn
Vâỵ tập hợp biểu diễn $z$ là   $E     \frac{x^2}{4}   + \frac{y^2}{3}=1$

1.Ta có $\Delta ABC$ đều  $(AB=AC=BC=a.\sqrt2$
$\rightarrow BIv(AIO)\rightarrow \widehat{AB;(AOI)}=\widehat{$}=30^0$
2.gọi $H$ là trung điểm $OC; OB//(AHI)\rightarrow d(OB;AI)=d(B;(AHI))$
Ta có  $V_{A.HBI}=\frac{1}{3}AO.S_{\Delta HBI}=\frac{1}{3}d(B;(AIH)).S_{\Delta AIH}$
$AO=a  ;   S_{\Delta HBI}=\frac{a^2.\sqrt3}{16}$
Xét $\Delta AIH         :  AI=\frac{a.\sqrt6}{2}      ;HI=a/2     AI=\sqrt{AO^2+OH^2}=\frac{a.\sqrt5}{2}$
Hêrông ta có   $S_{\Delta AIH}=\frac{a^2\sqrt5}{4}$
$\rightarrow d(OB;AI)=\frac{a.\sqrt{15}}{20}$
m hay tính sai lắm n m nghĩ hướng làm trên là đúng

1.Gọi $H$ là trung điểm của $AO$
$\Rightarrow MH//SO\Rightarrow \widehat{MN;(ABCD)}=\widehat{MNH}=60^0$
Xét tam giác $ANO$
có $AN=a.\sqrt{5}/2            ON=a/2           AO=a.\sqrt{2}/2$
$NH$ là trung tuyến của tam giác sử dung CT đường trung tuyến$\Delta ANO$ ta có $NH=a.\sqrt{10}/4$
$\Rightarrow MN=\frac{NH}{cos60^0}            SO=2MH=2NH$
Câu 2 cách của m dài nên nếu thích bạn có thể tham khảo
2. Gọi $K$ là trung điểm của $SO$ ta có $AOvg(SBD) \Rightarrow  MKvg(SBD)$
$AN\cap BD=I ;  SI\cap MN=J \rightarrow  \widehat{MN;(SBD)}=\widehat{MJK}$ tính các canh của tam giác và sử dụng công thức lượng giác cho tam giác vuông  thì có $MK$ là dễ tính Có $KJ$ đầu tên tính $AI$ sau đó  từ $IJ$ là ra

Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện