Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left [  \frac{1}{(a-b)^{2}}+ \frac{1}{(b-c)^{2}}+ \frac{1}{(c-a)^{2}}  \right ] \geq  \frac{9}{2}$
( Với $a\neq b\neq c )$

Cách 3 : Sd pp Hàm số 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

ĐK ...
$pt(1) \Leftrightarrow  (2y+1)( \sqrt{x+1}-y) + \sqrt{x+2}(\sqrt{x+2}-\sqrt{y^{2}+1})+x+1-y^{2}=0$
$\Leftrightarrow  (x+1-y^{2})\left[ { \frac{2y+1}{ \sqrt{x+1}+y} + \frac{\sqrt{x+2}}{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{y^{2}+1}}+1 } \right]=0$
Vì cái :$[...] >0 \rightarrow  x+1=y^{2}$
Thế vào pt (2) :
 $(8x+10) \sqrt{x+1}= (5+ \sqrt{x-1})(x+1+10 \sqrt{x-1}+24)$
$\Leftrightarrow  ...$ Tới đây chắc dễ r :D

Ta sd bổ đề : $\begin{cases}a,b,c>0 \\ a+b+c=2 \end{cases}$ , có : 
                  $\frac{bc}{a+2}+\frac{ca}{b+2}+ \frac{ab}{c+2} \leq  \frac{1}{2}$
Bđt cần CM $\Leftrightarrow  P= \sum \frac{bc}{\sqrt[4]{9a^{2}+12}} \leq  \frac{2}{3}$

$\Rightarrow  \frac{P}{\sqrt[4]{4}}=\sum \frac{bc}{\sqrt[4]{4(9a^{2}+12)}}$
Ad bđt AM-GM : 
 $(9a^{2}+12)4 \geq  (3a+6)^{2}$
$\Rightarrow  \frac{P}{\sqrt[4]{4}} \leq  \sum \frac{bc}{\sqrt{3(a+2)}}$
 $\left[ { \sum \frac{bc}{\sqrt{3(a+2)}}} \right]^{2} \leq  \frac{\sum bc}{3} \left (  \frac{bc}{a+2}+ \frac{ca}{b+2}+ \frac{ab}{c+2}\right )$
Ad bổ đề và sd bđt cơ bản : $3\sum bc \leq  (a+b+c)^{2} =4$ , ta được : 
  $\left[ { \sum \frac{bc}{\sqrt{3(a+2)}}} \right] ^{2} \leq  \frac{2}{9}$
 $\Rightarrow  \left[ { \frac{P}{ \sqrt[4]{4}}} \right]^{2} \leq  \frac{2}{9}$
$\Rightarrow  P \leq  \frac{2}{3}$        (đpcm)
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c=\frac{2}{3}$

Cách 2 : Đặt : $x=\sqrt[3]{a},y= \sqrt[3]{b},z=\sqrt[3]{c}$
Đưa bài toán về dạng :$\rightarrow  VT=\sum\frac{1}{x^{3}(y^{3}+1)} \geq  \frac{3}{xyz(xyz+1)}$
Có : $P=\sum\frac{1+x^{3}}{x^{3}(y^{3}+1)}+\sum \frac{y^{3}(x^{3}+1)}{1+y^{3}}$
Ad bđt AM-GM :
   $\sum \frac{1+x^{3}}{x^{3}(y^{3}+1)} \geq  3xyz$
  $\sum \frac{x^{3}+1}{1+y^{3}} \geq  \frac{3}{xyz}$
$\rightarrow  P \geq  3xyz+\frac{3}{xyz}$
$\rightarrow  (1+x^{3}y^{3}z^{3}).VT \geq  3xyz+\frac{3}{xyz}-3$
Mà : $\frac{3}{xyz(xyz+1)}(x^{3}y^{3}z^{3}+1)=3xyz-3+\frac{3}{xyz}$
$\rightarrow (1+x^{3}y^{3}z^{3}).VT \geq  (1+x^{3}y^{3}z^{3} ).\frac{3}{xyz(xyz+1)}$
$\Rightarrow (đpcm)$
Dấu = xảy ea $\Leftrightarrow a=b=c$

Cách 2 : Tự nhiên hơn nè :D

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết