help me [đang ẩn]

Question

$\sum \frac{1}{a(1+b)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 5/28/2016 11:18:48 AM

Cách 3 :
Áp dụng bđt Holder :
$ (1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{abc})^{3}$
Áp dụng bđt cơ bản : $(x+y+z)^{2} \geq 3(xy+yz+zx)$ và bđt trên , ta được :
$ \left[ { \sum \frac{1}{a(1+b)} } \right ]^{2} \geq 3\left ( \sum \frac{1}{ab(1+b)(1+c)} \right )=\frac{3(\sum a+ \sum ab)}{abc.\sum (1+b)}= \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc.\sum (1+b)} \geq \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(1+ \sqrt[3]{abc})^{3}}=\frac{9}{ \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}(1+ \sqrt[3]{abc})^{2}}$
Sau đó khai căn 2 vế của bđt $\rightarrow (đpcm)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Trả lời 28-05-16 11:18 AM

☼SunShine❤️
25 5

1M 788K

1

☼SunShine❤️ · Answer 2 · 5/25/2016 4:29:05 PM

Bình chọn tăng 21 Bình chọn giảm

Cách 2 : Đặt : $x=\sqrt[3]{a},y= \sqrt[3]{b},z=\sqrt[3]{c}$
Đưa bài toán về dạng :$\rightarrow VT=\sum\frac{1}{x^{3}(y^{3}+1)} \geq \frac{3}{xyz(xyz+1)}$
Có : $P=\sum\frac{1+x^{3}}{x^{3}(y^{3}+1)}+\sum \frac{y^{3}(x^{3}+1)}{1+y^{3}}$
Ad bđt AM-GM :
$\sum \frac{1+x^{3}}{x^{3}(y^{3}+1)} \geq 3xyz$
$\sum \frac{x^{3}+1}{1+y^{3}} \geq \frac{3}{xyz}$
$\rightarrow P \geq 3xyz+\frac{3}{xyz}$
$\rightarrow (1+x^{3}y^{3}z^{3}).VT \geq 3xyz+\frac{3}{xyz}-3$
Mà : $\frac{3}{xyz(xyz+1)}(x^{3}y^{3}z^{3}+1)=3xyz-3+\frac{3}{xyz}$
$\rightarrow (1+x^{3}y^{3}z^{3}).VT \geq (1+x^{3}y^{3}z^{3} ).\frac{3}{xyz(xyz+1)}$
$\Rightarrow (đpcm)$
Dấu = xảy ea $\Leftrightarrow a=b=c$

Trả lời 25-05-16 04:29 PM

☼SunShine❤️
25 5

1M 788K

1

☼SunShine❤️ · Answer 3 · 5/23/2016 10:05:03 AM

Bình chọn tăng 18 Bình chọn giảm

Trả lời 23-05-16 10:05 AM

☼SunShine❤️
25 5

1M 788K

1

Hỏi	12-05-16 06:55 PM
Lượt xem	1537
Hoạt động	28-05-16 11:18 AM

help me [đang ẩn]

bị xóa vì không thực sự là câu hỏi bởi ๖ۣۜDevilღ 15-06-16 09:01 PM

3 Đáp án

help me [đang ẩn]

bị xóa vì không thực sự là câu hỏi bởi ๖ۣۜDevilღ 15-06-16 09:01 PM

3 Đáp án

Liên quan