Ta có BĐT lđ sau:
$\Pi (1+a)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$ ( cm = biến đổi tương đương)
hoặc: http://diendantoanhoc.net/topic/124445-cmr-1-a1-b1-c-geqslant1sqrt3abc3/
Ta có:
$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc$
$\rightarrow ab+bc+ca\geq 3\sqrt{abc}$
$\rightarrow P\leq \frac{2}{3(1+\sqrt{abc})}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+\sqrt[3]{abc})^3}}$
Đặt $\sqrt[6]{abc}=t\rightarrow t\in (0;1]$
Xét hàm số:
$f(t)=\frac{2}{3(1+t^3)}+\frac{t^2}{1+t^2}$ với $t\in (0;1]$
có $f'(t)=..............\geq 0$
suy ra hàm số đồng biến trên $(0;1]$
$\rightarrow f(t)\leq f(1)=.......$
$\rightarrow ...............$