Điều kiện của nghiệm :$x \ge a/2$. Ta biến đổi bất phương trình đã cho như sau
$2\sqrt {2{\rm{x  -  a}}}  \ge 2{\rm{x  -  a  +  a }} \Leftrightarrow {\rm{ 1  -  a }} \ge {\left( {\sqrt {{\rm{2x  -  a}}}  - 1} \right)^2}$        (1)
a) $1 - a < 0 \Leftrightarrow a > 1$ : (1) vô nghiệm
b) $1 - a = 0 \Leftrightarrow a = 1$ : (1) có nghiệm $x = 1$
c) $1 - a > 0 \Leftrightarrow a < 1:(1) \Leftrightarrow 0 \ge {\left( {\sqrt {{\rm{2x  - a}}}  - 1} \right)^2} - \left( {\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2}} } \right)$
$ \Leftrightarrow  - \sqrt {1 - a}  \le \sqrt {2{\rm{x  -  a  -  1}}}  \le \sqrt {1 - a} $
$ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {1 - a}  \le \sqrt {2{\rm{x  -  a}}}  \le 1 + \sqrt {1 - a} $                 (2)
d) $0 < a < 1 \Rightarrow 1 - \sqrt {1 - a}  \ge a/2$ nên (2) $ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {1 - a}  \le x \le 1 + \sqrt {1 - a} $
e) $a \le 0$ : (2) $ \Leftrightarrow a/2 \le x \le 1 + \sqrt {1 - a} $

Đặt $u = {e^{3x\,\,\,\,}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du\, = \,\,3{e^{3x\,}}dx$
            $dv = \sin \,4x\,dx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,v = \,\, - \frac{1}{4}co\,sx\,$
$\begin{array}{l}
I = \,\,\,\, - \left. {\frac{1}{4}{e^{3x\,}}cosx} \right]_0^{\frac{\pi }{4}} + \frac{3}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{e^{3x\,}}cos4x} \\
\,\,\, = \frac{1}{4}\left( {1 + {e^{\frac{3}{4}}}} \right) + \frac{3}{4}K
\end{array}$
Tính $K$ :  Đặt   $u = {e^{3x\,\,\,\,}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du\, = \,\,3{e^{3x\,}}dx$
    $dv = cos4xdx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,v = \,\,\frac{1}{4}\sin \,4x\,$
       $\begin{array}{l}
K = \left. {\frac{1}{4}{e^{3x\,}}\sin \,4x} \right]_0^{\frac{\pi }{4}} - \frac{3}{4}I =  - \frac{3}{4}I\\
I = \frac{1}{4}\left( {1 + {e^{\frac{3}{4}}}} \right) - \frac{9}{{16}}I\,\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{25}}{{16}}I = \frac{1}{4}\left( {1 + {e^{\frac{3}{4}}}} \right)
\end{array}$
   Vậy $I = \frac{4}{{25}}\left( {1 + {e^{\frac{3}{4}}}} \right)$

\(\sin 4x - c{\rm{os}}4x = 1 + 4\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 0 = c{\rm{os}}4x + \left( {1 - \sin 4x} \right) + 4\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 0 = \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x - {{\sin }^2}2x} \right) + {\left( {c{\rm{os}}2x - \sin 2x} \right)^2} - 4\left( {\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 0 = 2\cos 2x\left( {c{\rm{os}}2x - \sin 2x} \right) - 4\left( {\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 0 = 2\left( {\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\left( {\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\left( {\cos 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2x}}} \right) - 4\left( {\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\)
   
\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\left[ {c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) + c{\rm{os}}3x - 2} \right] = 0\)
$a)$ \(c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)  (TM)
$b)$ \(\left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1\\
c{\rm{os}}3x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\
c{\rm{os}}\left( { - \frac{{3\pi }}{2} + 6k\pi } \right) = 1
\end{array} \right.\) (VN)

Đáp số: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Biến đổi  \(\)\(\frac{{\sqrt {{b^2} + 2{a^2}} }}{{ab}} = \sqrt {\frac{{{b^2} + 2{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}}  = \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + 2.\frac{1}{{{b^2}}}} \)
Đặt  \(x = \frac{1}{a},y = \frac{1}{b},z = \frac{1}{c}\)
Giả thiết\(\left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
ab + bc + ca = abc
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x,y,z > 0\\
x + y + z = 1
\end{array} \right.\)
và đpcm \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{y^2}}  + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}}  + \sqrt {{z^2} + 2{x^2}}  \ge \sqrt 3\)
Theo Bunhiacopki: \(3\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2} \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 2{y^2}}  \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {x + 2y} \right)\)
Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có: \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{y^2}}  + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}}  + \sqrt {{z^2} + 2{x^2}}  \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {3x + 3y + 3z} \right) = \sqrt 3 \)
Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = b = c = 3\)

Ta có: $4{m_a}^2 = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}$ $ \ge {\left( {b + c} \right)^2} - {a^2} = \left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)$
$\Rightarrow m^2_a \ge p(p-a)$
Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}
m^2_b \ge p(p-b)\\
m^2_c \ge p(p-c)
\end{array} \right.$
Suy ra :${m_a}^2{m_b}^2{m_c}^2 \ge {p^2}.p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)$
    $\begin{array}{l}
 \Rightarrow {m_a}^2{m_b}^2{m_c}^2 \ge {p^2}.{S^2}\\
 \Rightarrow {m_a}{m_b}{m_c} \ge pS
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Theo công thức tính độ dài phân giác, và áp dụng BĐT quen thuộc dạng $\frac{{4XY}}{{{{\left( {X + Y} \right)}^2}}} \le 1$ , ta có:
        $\begin{array}{l}
{l_a}^2{l_b}^2{l_c}^2 = \frac{{4bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}p\left( {p - a} \right).\frac{{4ca}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}p\left( {p - b} \right).\frac{{4ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}p\left( {p - c} \right)\\
 \le p\left( {p - a} \right).p\left( {p - b} \right).p\left( {p - c} \right)\\
 = {p^2}.p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\\
 = {p^2}.{S^2}
\end{array}$
Suy ra: ${l_a}{l_b}{l_c} \le p.S$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

a)  Đưa bất phương trình về dạng:
                   $-3<\frac{x^2-3x+1}{x^2+x+1}<3 $
Vì tam thức $x^2+x+1$  có biệt thức  $\Delta=-3 <0$  và  hệ số của  $x^2$  là  $1>0$  nên $x^2+x+1>0    \forall x,   x\in R$.
Bất phương trình tương đương với:
             $-3(x^2+x+1)<x^2-3x+1<3(x^2+x+1)$
    $\Leftrightarrow   \begin{cases}4x^2+4>0 \\ 2x^2+6x+2>0 \end{cases} $
Đáp số:  $x<\frac{-3-\sqrt{2} }{2} $  hoặc  $x>\frac{-3+\sqrt{5} }{2} $.
b) Đáp số:  $x<2 \sqrt{2} $  hoặc  $x>2+2 \sqrt{3} $.

Điều kiện xác định: $\begin{cases}  - x^{2} +4x+21 \geq 0  \\   - x^{2} +3x +10 \geq 0  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3 \leq x \leq 7   \\  -2 \leq x \leq 5   \end{cases} $
$\Leftrightarrow -2 \leq x \leq 5 \Rightarrow $ tập xác định của hàm số là $D=[-2;5]$
Do $- x^{2} +4x+21-  \left(  - x^{2} +3x +10  \right) = x+11>0 $ trên D nên $y>0$
$y= \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) }- \sqrt{ \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }>0$
$\Rightarrow y^{2}=x^{2} – x^{2} +4x+21+\left(  - x^{2} +3x +10  \right) $
             $-2 \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }$
             $= \left( - x^{2} +2x+15   \right) + \left(- x^{2} +5x+14    \right) $
             $- 2 \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }+2$
             $= [ \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 5-x   \right) }-  \sqrt{ \left( x+2   \right) \left( 7-x   \right) }]^{2}+2 \geq 2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $y$ là $ \sqrt{ 2}$ đạt được khi và chỉ khi
      $\sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 5-x   \right) }=  \sqrt{ \left( x+2   \right) \left( 7-x   \right) }$
$\Leftrightarrow$$      - x^{2} +2x+15                = - x^{2} +5x+14 \Leftrightarrow 3x=1 \Leftrightarrow x= \frac{ 1}{3}$

Lưu ý: $ a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left( a+b+c   \right)^{2} – 2 \left( ab+bc+ca   \right) = 1- 2 \left(   ab+bc+ca \right) $
$3 \left( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}    \right) \geq \left( ab+bc+ca   \right)^{2} $
( Dùng $3 \left( A^{2} + B^{2}+ C^{2}   \right) \geq \left( A+B+C   \right)^{2}  $)
$\Rightarrow M \geq \left( ab+bc+ca   \right)^{2} +3 \left( ab+bc+ca   \right) +2 \sqrt{ 1-2 \left( ab+bc+ca   \right)} $
Đặt $x=ab+bc+ca$
Thì $M \geq x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}$
Và $3 \left( ab+bc+ca   \right) \leq \left(  a+b+c  \right)^{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$
Lại đặt $\sqrt{ 1- 2x}=t$ thì do $0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$
$\Rightarrow \frac{ 1}{3} \leq 1-2x \leq 1 \Rightarrow \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq \sqrt{ 1-2x} \leq 1 $ hay $\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq t \leq 1$
Lúc này $x= \frac{ 1- t^{2}}{2}; x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}= \left(  \frac{ 1-t^{2}}{2}  \right)^{2} +3 \left(  \frac{ 1-t^{2}}{2}  \right) +2t= \frac{t^{4}-8t^{2}+8t+7 }{4}$
Xét hàm $f(t)= \frac{ t^{4}-8t^{2}+8t+7}{4} \Rightarrow f’(t)= t^{3}-4t+2$
$f’( \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}})= \frac{ 1}{3 \sqrt{ 3}}- \frac{ 4}{ \sqrt{ 3}}+2= \frac{ 6 \sqrt{ 3}-11}{3 \sqrt{ 3}} <0$
$f’(1)=-1<0 : f ,(t)$ liên lục
$f’(t)$ Nhận giá trị âm trên toàn đoạn $[\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} ; 1]$
$f(t)$ Nghịch biến $t \leq 1$ thì $f(t) \geq f(1)=2$
$\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất  của  $f(t)$ cũng là giá trị nhỏ nhất của  M la $2$, đạt được khi $t=1 \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow  \begin{cases}  ab+bc+c a=0  \\ a+b+c=1    \end{cases} $