$\sin^3x+\cos^3x+2\sin^2x=1$

Cho $\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}$. Chứng minh: $\sqrt[2012]{a}+\sqrt[2012]{b}-\sqrt[2012]{2c}=\sqrt[2012]{a+b-c}$

Cho a,b,c dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a+c)^{2}}$

Các bài tập liên quan đến: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Bạn Click vào link:   http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/Chu-De/tich-phan-ham-phan-thuc-huu-ti

Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^{2}+3xy+y^{2}=12 \\ x^{2}-xy+3y^{2}=11 \end{cases}$

Tính tích phân $I=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}-2x \cos \alpha+1} (0<\alpha<\pi)$

Ta có          $\frac{a^2 \cos \frac{B-C }{2 }  }{ 2 \sin \frac{ A}{2 } } =a \frac{2R \sin A \cos \frac{ B-C}{ 2}  }{2 \sin \frac{ A}{ 2}  } $$=aR.2 \sin \frac{ B+C}{ 2} \cos \frac{B-C }{ 2} =aR(\sin B+\sin C)$
$=\frac{ab+ac }{ 2} $
Tương tự:  $\frac{b^2 \cos \frac{C-A }{2 }  }{2 \sin \frac{ B}{ 2}  } = \frac{ bc+ba}{ 2} $
                  $\frac{b^2 \cos \frac{ C-A}{ 2}  }{ 2 \sin \frac{ B}{ 2} } = \frac{ ca+cb}{ 2} $
Vậy $(1) \Leftrightarrow \frac{ 1}{ 2} (2ab+2ac+2bc) = a^2+b^2+c^2$
               $\Leftrightarrow ab+bc+ac = a^2+b^2+c^2$
               $\Leftrightarrow 2ab+2bc+2ac=2a^2+2b^2+2c^2$
               $\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0$
               $\Leftrightarrow (a-b)^2 +(b-c)^2 +(a-c)^2=0$
               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = 0\\
b - c = 0\\
a - c = 0
\end{array} \right.  \Leftrightarrow  a = b = c$
Vậy $(1)$ đúng thì tam giác $ABC$ đều.

Phân tích:$I=\int\limits_{0}^{\pi}\sin^{11} xdx=\int\limits_{0}^{\pi}\sin^{10} x\sin xdx=\int\limits_{0}^{\pi}(1-\cos^2 x)^5d(-\cos x)$
$I=-\int\limits_{0}^{\pi}(1-5\cos^2 x+10\cos^4x-10\cos^6 x+5\cos^8 x-\cos^{10}x)d(\cos x)$
$I=-(\cos x-\frac{5}{3} \cos^3 x+\frac{10}{5}\cos^5 x-\frac{10}{7}\cos^7 x+\frac{5}{9}\cos^9 x-\frac{1}{11}\cos^{11} x)|_{0}^{\pi}    $
$I=2-\frac{10}{3} +\frac{20}{5} -\frac{20}{7} +\frac{10}{9} -\frac{2}{11} =\frac{512}{693} (ycbt)$

\({x^2} - 3x - 4 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 4\)

Trước hết ta tìm hệ đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x|x| - {m^2} - 15m < 0\,\forall x \in \left[ { - 1,\,4} \right]\)
Ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3{x^2} - {m^2} - 15m\,,\,0 \le x \le 4\\
{x^3} + 3{x^2} - {m^2} - 15m\,,\, - 1 \le x \le 0
\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} - 6x\,,\,0 < x < 4\\
3{x^2} + 6x\,,\, - 1 < x < 0
\end{array} \right.\)
Do đó ta có bảng biến thiên như hình vẽ


Do \(f\left( { - 1} \right) =  - {m^2} - 15m + 2\,;\,f\left( 4 \right) =  - {m^2} - 15m + 16\)

Suy ra \(\mathop \max \limits_{ - 1 \le x \le 4} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) =  - {m^2} - 15m + 16\)
Do đó \(f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left[ {1,\, - 4} \right]\)

\( \Leftrightarrow \mathop \max \limits_{ - 1 \le x \le 4} f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow {m^2} + 15m - 16 > 0 \)

Như vậy để hệ PT ban đầu có nghiệm \(\Leftrightarrow{m^2} + 15m - 16 \le 0\Leftrightarrow - 16 \le m \le 1  \)

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
c{\rm{osx}} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} - m\sin {\rm{x}}c{\rm{osx}} = 0$                (2)
Đặt ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx = t}}$, $t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right],t \ne  \pm 1$, (3) trở thành
$t - m.\frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = m{t^2} - 2t - m$                (3)
Phải chứng minh (3) có ít ra 1 nghiệm $ \ne  \pm 1$ và $ \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m = 0$ (3) có nghiệm $t = 0$: thõa mãn
Trường hợp $m \ne 0$: $f\left( { \pm 1} \right) =  \pm 2 \Rightarrow  \pm 1$ không phải là nghiệm của (3)
Mặt khác $f\left( 1 \right).f\left( { - 1} \right) =  - 4 < 0$ nên có nghiệm $ \in \left( { - 1;1} \right)$. Cũng thuộc $ \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$
Vậy với $\forall m$ (3) đều có nghiệm thích hợp $ \Rightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm   (đpcm)
Để (1) có nghiệm $ \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$. Vẫn đưa phương trình về dạng (3), nhưng do x $ \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên
$t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1,\sqrt 2 } \right)$( vì $x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]$)
$ \Rightarrow t = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Vậy (3) phải có ít nhất một nghiệm $ \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m = 0$ loại vì (3) có nghiệm $t = 0 \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m \ne 0$. Do $f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) =  - 4 < 0$ nên (3) có 1 nghiệm ${t_1} \in \left( { - 1;1} \right)$ nghiệm ${t_2}\overline  \in  \left( { - 1;1} \right]$, để ${t_2} \in \left( {1,\sqrt 2 } \right]$ phải có
$\left\{ \begin{array}{l}
m.f\left( 1 \right) < 0\\
m.f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( { - 2} \right) < 0\\
m.\left( {m - 2\sqrt 2 } \right) \ge 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow m \ge 2\sqrt 2 $. Đây là các giá trị $m$ cần tìm

-  Nếu tam giác $ABC$ không nhọn thì \(\cos A\cos B\cos C \le 0 < \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\) (Đúng)
-  Nếu tam giác $ABC$ nhọn thì \(\cos A,\cos B,\cos C > 0\) và ta có
\(\cos A\cos B = \frac{1}{2}\left( {c{\rm{os}}\left( {A - B} \right) + c{\rm{os}}\left( {A + B} \right)} \right) \le \frac{1}{2}\left( {1 - \cos C} \right) = {\sin ^2}\frac{C}{2}\)
Làm tương tự đối với $\cos B \cos C, \cos C\cos A$ rồi nhân hai vế ta được
\((\cos A\cos B\cos C)^2\le (\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2})^2\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ \(\Leftrightarrow \Delta ABC\)đều.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện: $\sin x\ne0,\cos x\ne0$    
\(2\sqrt 2 {\rm{ sin }}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} + \frac{1}{{\cos x}} \)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\rm{ sin }}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\rm{ sin }}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}\)
$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\left[ {2 - \frac{1}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}} \right] = 0$
$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)=0\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$
$2 - \frac{1}{{\sin {\rm{x}}\cos x}}=0\Leftrightarrow \sin 2x =1\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$

Đáp số:  $x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$