phương trình

5(1+\sqrt{1}+x^{3})= x^{2}(4x^{2}-25x+18)

Phương trình vô tỉ

phương trình

$5(1+\sqrt{1}+x^{3})= x^{2}(4x^{2}-25x+18)$

Phương trình vô tỉ

ĐKXĐ:.......Ta có : $\sqrt{2x^2+6xy+5y^2}=\sqrt{(x-y)^2+(x-2y)^2}\geq \sqrt{(x-y)^2}=|x-y|\geq (x-y)$Tương tự ta có $\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=\sqrt{(x+3y)^2+(x-2y)^2}\geq \sqrt{(x+3y)^2}=|x+3y|\geq x+3y$Dấu bằng xảy ra khi x=2y và x-y$\geq 0; x+3y\geq 0$ Cộng vế với vế ta có VT $\geq VP$Từ pt (1) của hệ suy ra x=2yThay y=$\frac{x}{2}$ vào pt 2 sau đó nhân liên hợp nghiệm x=2 là xong ( phần biểu thức nhân liên hợp còn lại dễ thấy vô nghiệm từ ĐKXĐ) Từ đó suy ra y=1 kiểm tra lại với đk và kết luận

ĐKXĐ:.......Ta có : $\sqrt{2x^2+6xy+5y^2}=\sqrt{(x-y)^2+(x-2y)^2}\geq \sqrt{(x-y)^2}=|x-y|\geq (x-y)$Tương tự ta có $\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=\sqrt{(x+3y)^2+(x-2y)^2}\geq \sqrt{(x+3y)^2}=|x+3y|\geq x+3y$Dấu bằng xảy ra khi x=2y và x-y$\geq 0; x+3y\geq 0$ Cộng vế với vế ta có VT $\geq VP$Từ pt (1) của hệ suy ra x=2yThay y=$\frac{x}{2}$ vào pt 2 sau đó nhân liên hợp nghiệm x=2 là xong ( phần biểu thức nhân liên hợp còn lại dễ thấy vô nghiệm từ ĐKXĐ) Từ đó suy ra y=1 kiểm tra lại với đk và kết luận

Ta có $\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{\frac{5}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2}\geq \sqrt{\frac{5}{4}}(x+y)$Chứng minh tương tự cho 2 căn thức còn lại. sau đó cộng lại ta có Min f(x,y,z)= $\sqrt{5}$Vậy ta có đpcm

Ta có $\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{\frac{5}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2}\geq \sqrt{\frac{5}{4}}(x+y) $Chứng minh tương tự cho 2 căn thức còn lại. sau đó cộng lại ta có Min f(x,y,z)=$\sqrt{5}$Vậy ta có đpcm

Điều kiện xác định : ........Từ pt (1) ta biến đổi thành tích : ($\sqrt{x+1}-y)(\sqrt{x+3}+y^2-1)=0\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=0.$ Do $\sqrt{x+3}+y^2-1> 0$Từ đó suy ra $x=y^2-1.$Suy ra pt (2) $\Leftrightarrow 2x^2(3x^2+1)-(x^2+1)(1-3x\sqrt{4x^2-3}\Leftrightarrow 6x^4+3x^3+x^2+3x-1+3x(x^2+1)(\sqrt{4x^2-3}-1)=0.$Nhân liên hợp ta có : $(x+1)(6x^3-3x^2+4x-1)+\frac{12x(x^2+1)(x-1)}{MS})=0$.Phần biểu thức trong ngoặc luôn lớn hơn 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ.Suy ra x=-1$\Rightarrow y=0$. Kết luận......

Điều kiện xác định : ........Từ pt (1) ta biến đổi thành tích : ($\sqrt{x+1}-y)(\sqrt{x+3}+y^2-1)=0\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=0.$ Do $\sqrt{x+3}+y^2-1> 0$Từ đó suy ra $x=y^2-1.$Suy ra pt (2) $\Leftrightarrow 2x^2(3x^2+1)-(x^2+1)(1-3x\sqrt{4x^2-3}\Leftrightarrow 6x^4+3x^3+x^2+3x-1+3x(x^2+1)(\sqrt{4x^2-3}-1)=0.$Nhân liên hợp ta có : $(x+1)\left[ {} \right.(6x^3-3x^2+4x-1)+\frac{12x(x^2+1)(x-1)}{MS}]=0$.Phần biểu thức trong ngoặc luôn lớn hơn 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ.Suy ra x=-1$\Rightarrow y=0$. Kết luận......

Chứng minh tổng quát : cosx+cosy+cosz $\leq$ cos $\frac{x+y+z}{3}$Để chứng minh cái này khá đơn giản và dễ nghĩ ra áp dụng dk với nhiều bài. Mình xin trình bày cách chứng minh :Đầu tiên chứng minh cosx+cosy $\leq cos\frac{x+y}{2} (1) dùng công thức cộng cho VT là xong ngay$Sau đó cộng cả 2 vế với cosz+cos $\frac{x+y+z}{3}$ và áp dụng (1) 2 lần là xongÁp dụng vào bài toán có ngay đpcm

Chứng minh tổng quát : cosx+cosy+cosz $\leq$ cos $\frac{x+y+z}{3}$Để chứng minh cái này khá đơn giản và dễ nghĩ ra áp dụng dk với nhiều bài. Mình xin trình bày cách chứng minh :Đầu tiên chứng minh cosx+cosy $\leq cos\frac{x+y}{2} (1) $ dùng ct biến đổi tổng ra tích cho VT là đượcSau đó cộng cả 2 vế với cosz+cos $\frac{x+y+z}{3}$ và áp dụng (1) 2 lần là xongÁp dụng vào bài toán có ngay đpcm

Lại cực trị!!!!!!

Cho a,b,c thỏa mãn abc=1Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : P = $\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}$

Bất đẳng thức

Lại cực trị!!!!!!

Cho a,b,c thỏa mãn abc=1Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : P = $\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}$

Bất đẳng thức

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : $(y+\sqrt{yz}+z)^2=(\sqrt{y}.\sqrt{y}+\sqrt{yz}+\sqrt{z}\sqrt{z})^2\leq (x+y+z)(y+2z)$ Do đó ta có $\frac{2x^2+xy}{y+z+\sqrt{yz}}\geq \frac{2x^2+xy}{(x+y+z)(y+2z)}=\frac{1}{x+y+z}(\frac{2x^2+xy}{y+2z}+x-x)=\frac{1}{x+y+z}.(\frac{2x^2+2xy+2xz}{y+2z}-x)=\frac{2x}{y+2z}-\frac{x}{x+y+z}$ Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại ta có VT $\geq \frac{2x}{y+2z}+\frac{2y}{z+2x}+\frac{2z}{x+2y}-1$Áp dụng dồn mẫu ta có $\frac{2x^2}{xy+2xz}+\frac{2y^2}{yz+2xy}+\frac{2z^2}{xz+2yz\geq \frac{2(x+y+z)^2}{3(xy+xz+yz)}}\geq 1$

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : $(y+\sqrt{yz}+z)^2=(\sqrt{y}.\sqrt{y}+\sqrt{yz}+\sqrt{z}\sqrt{z})^2\leq (x+y+z)(y+2z)$ Do đó ta có $\frac{2x^2+xy}{y+z+\sqrt{yz}}\geq \frac{2x^2+xy}{(x+y+z)(y+2z)}=\frac{1}{x+y+z}(\frac{2x^2+xy}{y+2z}+x-x)=\frac{1}{x+y+z}.(\frac{2x^2+2xy+2xz}{y+2z}-x)=\frac{2x}{y+2z}-\frac{x}{x+y+z}$ Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại ta có VT $\geq \frac{2x}{y+2z}+\frac{2y}{z+2x}+\frac{2z}{x+2y}-1$Áp dụng dồn mẫu ta có $\frac{2x^2}{xy+2xz}+\frac{2y^2}{yz+2xy}+\frac{2z^2}{xz+2yz} \geq \frac{2(x+y+z)^2}{3(xz+xz+yz)} \geq 2$Do đó VT$\geq (2-1)=1$

Xét x=0 không là nghiệm của ptXét x khác 0 chia cả 2 vế cho x ta có $\sqrt[3]{\frac{x^4-x^2}{x^3}}=\frac{4x^2-3x-4}{x}$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=4x-3-\frac{4}{x}$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=4(x-\frac{1}{x}-3$Đặt x-1/x = t sau đó thay vào và giải pt bằng cách lập phương nhé!!! GOOD LUCK!!!

Xét x=0 không là nghiệm của ptXét x khác 0 chia cả 2 vế cho x ta có $\sqrt[3]{\frac{x^4-x^2}{x^3}}=\frac{4x^2-3x-4}{x}$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=4x-3-\frac{4}{x}$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=4(x-\frac{1}{x})-3$Đặt x-1/x = t sau đó thay vào và giải pt bằng cách lập phương nhé!!! GOOD LUCK!!!

Giúp

Cho a,b,c là các số thực không âm trong đó 2 số bất kì không đồng thời bằng 0. Tìm MinP= $\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ac}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}$

Bất đẳng thức

Giúp

Cho a,b,c là các số thực không âm trong đó 2 số bất kì không đồng thời bằng 0. Tìm MaxP= $\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ac}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}$

Bất đẳng thức

Bài mình mới nghĩ ra bạn nào có cách giải hay ko??? Vote nhé!!!

Cho a+b+c = 3/2 chứng minh bất đẳng thức sau :

Bất đẳng thức

Bài mình mới nghĩ ra bạn nào có cách giải hay ko??? Vote nhé!!!

Cho x+y+z = 3/2 chứng minh bất đẳng thức sau :

Bất đẳng thức

Vote và giải giúp nha!!!!!

Cho a,b,c≥0" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; font-size: 14px; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(40, 40, 40); font-family: helvetica, arial, sans-serif; position: relative; background-color: rgb(255, 255, 255);">a,b,c≥0a,b,c≥0và a+b+c=3.Chứng minh rằng:a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; font-size: 14px; text-align: left; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; position: relative;">a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1

Bất đẳng thức

Vote và giải giúp nha!!!!!

Cho a,b,c≥0" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; font-size: 14px; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(40, 40, 40); font-family: helvetica, arial, sans-serif; position: relative; background-color: rgb(255, 255, 255);">a,b,c≥0a,b,c≥0và a+b+c=3.Chứng minh rằng:a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; font-size: 14px; text-align: left; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; position: relative;">a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1

Bất đẳng thức

Vote và giải giúp nha!!!!!

Cho a,b,c≥0" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; font-size: 14px; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(40, 40, 40); font-family: helvetica, arial, sans-serif; position: relative; background-color: rgb(255, 255, 255);">a,b,c≥0a,b,c≥0và a+b+c=3.Chứng minh rằng:a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; font-size: 14px; text-align: left; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; position: relative;">a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1

Bất đẳng thức

Vote và giải giúp nha!!!!!

Cho a,b,c≥0" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; font-size: 14px; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(40, 40, 40); font-family: helvetica, arial, sans-serif; position: relative; background-color: rgb(255, 255, 255);">a,b,c≥0a,b,c≥0và a+b+c=3.Chứng minh rằng:a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; font-size: 14px; text-align: left; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; position: relative;">a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1a2b1+a+b+b2c1+b+c+c2a1+c+a≤1

Bất đẳng thức

vì a,b,c>0 và a^4 +b^4 =c^4 =>c>a và c>b =>C^ lớn nhất ta có cosC^=(a^2+b^2- c^2)/2ab,ta cần cm C^<90 =>cosC>0 vậy ta cần cm a^2+b^2-c^2>0 thật vậy a^2+b^2>c^2 <=> a^4+b^4+2a^2*b^2>c^4 <=>2a^2*b^2>0 (LĐ) vậy ABC là tam giác nhọn 2sin^2C = (sinA/cosA).(sinB/cosB) <=> 2sin^2C = (sinA.sinB)/(cosA.cosB) <=> 2(c/2R)^2 = [(a/2R).(b/2R)]/[((b^2 + c^2 - a^2)/2bc).((c^2 + a^2 - b^2)/2ca) <=> c^2/2R^2 = a^2b^2c^2/(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)R^2 <=>[c^2 - (a^2 - b^2)][c^2 + (a^2 - b^2)] = 2a^2b^2 <=>[c^4 - (a^2 - b^2)] = 2a^2b^2 <=> c^4 -a^4 + 2a^2b^2 - b^2 = 2a^2b^2 <=>c^4 = a^4 + b^4. (đúng) => đpcm

vì a,b,c>0 và c^4 +b^4 =a^4 =>a>b và a>c =>A^ lớn nhất ta có cosa^=(c^2+b^2- a^2)/2ab,ta cần cm A^<90 =>cosA>0 vậy ta cần cm c^2+b^2-a^2>0 thật vậy c^2+b^2>a^2 <=> c^4+b^4+2c^2*b^2>a^4 <=>2c^2*b^2>0 (LĐ) vậy ABC là tam giác nhọn 2sin^2A = (sinC/cosC).(sinB/cosB) <=> 2sin^2A = (sinC.sinB)/(cosC.cosB) <=> 2(a/2R)^2 = [(a/2R).(b/2R)]/[((b^2 + c^2 - a^2)/2bc).((c^2 + a^2 - b^2)/2ca) <=> a^2/2R^2 = c^2b^2c^2/(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)R^2 <=>[a^2 - (c^2 - b^2)][c^2 + (a^2 - b^2)] = 2a^2b^2 <=>[a^4 - (c^2 - b^2)] = 2a^2b^2 <=> a^4 -c^4 + 2c^2b^2 - b^2 = 2c^2b^2 <=>a^4 = c^4 + b^4. (đúng) => đpcm

Bất đẳng thức khó

CHo a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng:

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bất đẳng thức khó

CHo a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng:

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki