ĐK:................$Pt(2)\Leftrightarrow x^3+2x^2+9x=34-12y+(26-6y)\sqrt{17-6y}$$\Leftrightarrow x^3+2x^2+9x=2.(17-6y)+9\sqrt{17-6y}+(17-6y)\sqrt{17-6y}$Đặt $\sqrt{17-6y}=t \Rightarrow t \geq 0$Phương trình $(2)$ trở thành : $x^3+2x^2+9x=2t^2+9t+t^3$$\Leftrightarrow (x-t)(x^2+xt+t^2+2(x+t)+9)=0$Xét $x^2+xt+t^2+2(x+t)+9= (t+\frac{x}{2})^2+(\frac{3}{4}x^2+2x+9)+2t > 0$ Do ($\frac{3}{4}x^2+2x+9 >0$ và $t\geq 0$)Do đó $Pt (2)\Leftrightarrow x=t\Rightarrow x=\sqrt{17-6y}\Rightarrow x^2=17-6y$Thế vào $(1)$ và tự giải nốt nhé!

ĐK:................$Pt(2)\Leftrightarrow x^3+2x^2+9x=34-12y+(26-6y)\sqrt{17-6y}$$\Leftrightarrow x^3+2x^2+9x=2.(17-6y)+9\sqrt{17-6y}+(17-6y)\sqrt{17-6y}$Đặt $\sqrt{17-6y}=t \Rightarrow t \geq 0$Phương trình $(2)$ trở thành : $x^3+2x^2+9x=2t^2+9t+t^3$$\Leftrightarrow (x-t)(x^2+xt+t^2+2(x+t)+9)=0$Xét $x^2+xt+t^2+2(x+t)+9= (t+\frac{x}{2})^2+(\frac{3}{4}x^2+2x+9)+2t > 0$ Do ($\frac{3}{4}x^2+2x+9 >0$ và $t\geq 0$)Do đó $Pt (2)\Leftrightarrow x=t\Rightarrow x=\sqrt{17-6y}\Rightarrow x^2=17-6y$Thế vào $(1)$ ta có : $(1)\Leftrightarrow x+3\sqrt{x}-6+2\sqrt{3x^2-14x+12}=0$Nhân liên hợp và giải nốt nhé!

Do $a,b,c,d>0$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ nên $\Rightarrow (a,b,c,d) \epsilon [0;1]$Ta có: $(1-a)^2\geq 0\Rightarrow a^2+1\geq 2a\Rightarrow 1-a \geq a-a^2$$\Rightarrow 1-a \geq a.(1-a)$Tương tự ta có: $1-b\geq b(1-b)$ $..................$Nhân lại theo vế ta có : $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd.(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$Ta cần chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq (1-a)^2(1-b)^2(1-c)^2(1-d)^2$Do $a\epsilon [0;1]$ nên $(1-a)\epsilon [0;1]$ Do đó $(1-a) \geq (1-a)^2$Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại rồi nhân theo vế ta có đpcm.Vậy bất đẳng thức được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d\frac{1}{2}$

Do $a,b,c,d>0$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ nên $\Rightarrow (a,b,c,d) \epsilon [0;1]$Ta có: $(1-a)^2\geq 0\Rightarrow a^2+1\geq 2a\Rightarrow 1-a \geq a-a^2$$\Rightarrow 1-a \geq a.(1-a)$Tương tự ta có: $1-b\geq b(1-b)$ $..................$Nhân lại theo vế ta có : $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd.(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$Ta cần chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq (1-a)^2(1-b)^2(1-c)^2(1-d)^2$Do $a\epsilon [0;1]$ nên $(1-a)\epsilon [0;1]$ Do đó $(1-a) \geq (1-a)^2$Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại rồi nhân theo vế ta có đpcm.Vậy bất đẳng thức được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$

Chỉ có những khối óc đã được chuẩn bị mới có được những phát minh tình cờ.....!
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là $a;b;c$ và trực tâm $H.$Tìm giá trị lớn nhất của $T=\frac{(HA+HB+HC)^2}{a^2+b^2+c^2}$P/s: Giải chi tiết đi nhé !!! Có bao nhiêu cách nhỉ??????

Bất đẳng thức

Chỉ có những khối óc đã được chuẩn bị mới có được những phát minh tình cờ.....!
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là $a;b;c$ và trực tâm $H.$ (Giao điểm của 3 đường cao)Tìm giá trị lớn nhất của $T=\frac{(HA+HB+HC)^2}{a^2+b^2+c^2}$P/s: Giải chi tiết đi nhé !!!! Có bao nhiêu cách nhỉ??????

Bất đẳng thức

giai pt

3x\left ( 2+ )\sqrt{9x^{2}+3} +(4x +2 )(\sqrt{1 +x +x^{2}} +1) =0

Phương trình bậc nhất một ẩn

giai pt

$3x\left {( 2 )\sqrt{9x^{2}+3} +(4x +2 )(\sqrt{1 +x +x^{2}} +1) =0$

Phương trình bậc nhất một ẩn

Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!Đặt vế trái là P ta có : $P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b+\frac{(a-b)^2}{a+3b}) $$P=a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} $.Cần chứng minh : $P=a+b+c+\sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3 $Giả sử tồn tại $m>0$ sao cho $a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)} $Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có : $\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)} $Ta có : $a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$ Cần chứng minh $A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$.$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$$\Leftrightarrow (2+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-2)(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$ $(*)$Lại có $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$Cần chứng minh $(2+m).3+(2m-2)(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-2)(ab+ac+bc) \geq 6m-6$$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$ $??????????$Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????Bất đẳng thức tổng quát sau có đúng không nhỉ???? Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=k$. Chứng minh rằng : $$\sum \frac{a^2+kb^2}{a+kb} \geq k $$

Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!Đặt vế trái là P ta có : $P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{1}{4}a+\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2}{a+3b}) $$P=a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} $.Cần chứng minh : $P=a+b+c+\frac{3}{4}. \sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3 $Giả sử tồn tại $m>0$ sao cho $a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)} $Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có : $ \frac{3}{4}.\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)} $Ta có : $a+b+c+\frac{3}{4}.\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$ Cần chứng minh $A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$.$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+\frac{3}{2}.(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{2}.(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$$\Leftrightarrow (\frac{3}{2}+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-\frac{3}{2})(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$ $(*)$Lại có $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$Cần chứng minh $(\frac{3}{2}+m).3+(2m-\frac{3}{2})(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-\frac{3}{2})(ab+ac+bc) \geq 6m-\frac{9}{2}$$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$ $??????????$Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????Bất đẳng thức tổng quát sau có đúng không nhỉ???? Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=k$. Chứng minh rằng : $$\sum \frac{a^2+kb^2}{a+kb} \geq k $$

Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!Đặt vế trái là P ta có : $P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b+\frac{(a-b)^2}{a+3b}) $$P=a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} $.Cần chứng minh : $P=a+b+c+\sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3 $Giả sử tồn tại $m>0$ sao cho $a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)} $Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có : $\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)} $Ta có : $a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$ Cần chứng minh $A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$.$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$$\Leftrightarrow (2+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-2)(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$ $(*)$Lại có $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$Cần chứng minh $(2+m).3+(2m-2)(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-2)(ab+ac+bc) \geq 6m-6$$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$ $??????????$Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????

Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!Đặt vế trái là P ta có : $P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b+\frac{(a-b)^2}{a+3b}) $$P=a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} $.Cần chứng minh : $P=a+b+c+\sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3 $Giả sử tồn tại $m>0$ sao cho $a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)} $Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có : $\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)} $Ta có : $a+b+c+\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$ Cần chứng minh $A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$.$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$$\Leftrightarrow (2+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-2)(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$ $(*)$Lại có $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$Cần chứng minh $(2+m).3+(2m-2)(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-2)(ab+ac+bc) \geq 6m-6$$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$ $??????????$Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????Bất đẳng thức tổng quát sau có đúng không nhỉ???? Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=k$. Chứng minh rằng : $$\sum \frac{a^2+kb^2}{a+kb} \geq k $$

ĐK:.......................$(1)\Leftrightarrow x^2-xy-2y^2-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y)-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0$$\Leftrightarrow x=-y$ Hoặc $x-2y-1=0$Thế vào (2) và tự giải nốt nhé!

ĐK:.......................$(1)\Leftrightarrow x^2-xy-2y^2-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y)-(x+y)=0\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0$$\Leftrightarrow x=-y$ Hoặc $x-2y-1=0$Từ Pt $(2)$ ta có : $x\geq 1; y\geq 0$. Mà $x=-y$ nên $y<0$ do đó loại trường hợp này!Do đó $2y=x+1$Thế vào $(2)$ và giải nốt nhé!

Một cách chứng minh khácĐể đơn giản ta đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là ABĐT $\Leftrightarrow 3-A\geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sum (1-\frac{a-bc}{a+bc})\geq \frac{3}{2} $$\Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{a+bc}\geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{a(a+b+c)+bc}\geq \frac{3}{2} $$\Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{(a+b)(a+c)} \geq \frac{3}{2} $Đặt $(a;b;c)\rightarrow (\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z})$BĐT cần chứng minh trở thành : $ \sum \frac{2x^2}{(x+y)(x+z)} \geq \frac{3}{2}$Áp dụng $Cauchy-Schwart$ ta có: $VT\geq 2. \frac{(x+y+z)^2}{\sum (x+y)(x+z) }=2.\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+xz+yz}$$VT\geq \frac{2.(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}\geq \frac{3}{2}$ (Theo AM-GM)Vậy bất đẳng thức được chứng minh. dấu bằng khi a=b=c=1/3

Một cách chứng minh khácĐể đơn giản ta đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là ABĐT $\Leftrightarrow 3-A\geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sum (1-\frac{a-bc}{a+bc})\geq \frac{3}{2} $$\Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{a+bc}\geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{a(a+b+c)+bc}\geq \frac{3}{2} $$\Leftrightarrow \sum \frac{2bc}{(a+b)(a+c)} \geq \frac{3}{2} $Đặt $(a;b;c)\rightarrow (\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z})$BĐT cần chứng minh trở thành : $ \sum \frac{2x^2}{(x+y)(x+z)} \geq \frac{3}{2}$Áp dụng $Cauchy-Schwart$ $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$ Ta có: $VT\geq 2. \frac{(x+y+z)^2}{\sum (x+y)(x+z) }=2.\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+xz+yz}$$VT\geq \frac{2.(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}\geq \frac{3}{2}$ (Theo AM-GM $xy+xz+yz\leq x^2+y^2+z^2)$Vậy bất đẳng thức được chứng minh. dấu bằng khi a=b=c=1/3

ĐKXĐ: .............$Pt\Leftrightarrow 4x^2-21x+22+\sqrt{3x+2}=0$Đặt $\sqrt{3x+2}= -2t+5$. $t\leq \frac{5}{2}$Ta có hệ : $\begin{cases}(2x-4)^2-5x+6+2t-4=0 \\ (2t-4)^2=3x+2 \end{cases}$$\begin{cases}(2x-4)^2=5x-2t-2 \\ (-2t+5)^2=3x+2 \end{cases}$Giải theo pp trừ vế đặt nhân tử chung nhé!

ĐKXĐ: .............$Pt\Leftrightarrow 4x^2-21x+22+\sqrt{3x+2}=0$Đặt $\sqrt{3x+2}= -2t+5$. $t\leq \frac{5}{2}$Ta có hệ : $\begin{cases}(2x-4)^2-5x+6+2t-4=0 \\ (-2t+5)^2=3x+2 \end{cases}$$\begin{cases}(2x-4)^2=5x-2t-2 \\ (-2t+5)^2=3x+2 \end{cases}$Giải theo pp trừ vế đặt nhân tử chung nhé!

ĐKXĐ: .............$Pt\Leftrightarrow 4x^2-21x+22+\sqrt{3x+2}=0$Đặt $\sqrt{3x+2}= -2t+5$. $t\geq 2$Ta có hệ : $\begin{cases}(2x-4)^2-5x+6+2t-4=0 \\ (2t-4)^2=3x+2 \end{cases}$$\begin{cases}(2x-4)^2=5x-2t-2 \\ (-2t+5)^2=3x+2 \end{cases}$Giải theo pp trừ vế đặt nhân tử chung nhé!

ĐKXĐ: .............$Pt\Leftrightarrow 4x^2-21x+22+\sqrt{3x+2}=0$Đặt $\sqrt{3x+2}= -2t+5$. $t\leq \frac{5}{2}$Ta có hệ : $\begin{cases}(2x-4)^2-5x+6+2t-4=0 \\ (2t-4)^2=3x+2 \end{cases}$$\begin{cases}(2x-4)^2=5x-2t-2 \\ (-2t+5)^2=3x+2 \end{cases}$Giải theo pp trừ vế đặt nhân tử chung nhé!

ĐKXĐ: .............$Pt\Leftrightarrow 4x^2-21x+22+\sqrt{3x+2}=0$Đặt $\sqrt{3x+2}=2t-4$. $t\geq 2$Ta có hệ : $\begin{cases}(2x-4)^2-5x+6+2t-4=0 \\ (2t-4)^2=3x+2 \end{cases}$$\begin{cases}(2x-4)^2=5x-2t-2 \\ (2t-4)^2=3x+2 \end{cases}$Giải theo pp trừ vế đặt nhân tử chung nhé!

ĐKXĐ: .............$Pt\Leftrightarrow 4x^2-21x+22+\sqrt{3x+2}=0$Đặt $\sqrt{3x+2}= -2t+5$. $t\geq 2$Ta có hệ : $\begin{cases}(2x-4)^2-5x+6+2t-4=0 \\ (2t-4)^2=3x+2 \end{cases}$$\begin{cases}(2x-4)^2=5x-2t-2 \\ (-2t+5)^2=3x+2 \end{cases}$Giải theo pp trừ vế đặt nhân tử chung nhé!

Chỉ có những khối óc đã được chuẩn bị mới có được những phát minh tình cờ.....!
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là $a;b;c$ và trực tâm $H.$Tìm giá trị lớn nhất của $T=\frac{(HA+HB+HC)^2}{a^2+b^2+c^2}$P/s: Giải chi tiết đi nhé!!! Có bao nhiêu cách nhỉ???

Bất đẳng thức

Chỉ có những khối óc đã được chuẩn bị mới có được những phát minh tình cờ.....!
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là $a;b;c$ và trực tâm $H.$Tìm giá trị lớn nhất của $T=\frac{(HA+HB+HC)^2}{a^2+b^2+c^2}$P/s: Giải chi tiết đi nhé !!! Có bao nhiêu cách nhỉ??????

Bất đẳng thức

GIÚP MÌNH VỚI, TOÁN 10, TKS

$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1}= \sqrt[3]{2x2}+\sqrt[n]{2x2+1}$$\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x2}{1+x2}$

Phương trình vô tỉ

GIÚP MÌNH VỚI, TOÁN 10, TKS

$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{2x2}+\sqrt[3]{2x2+1}$ $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x2}{1+x2}$

Phương trình vô tỉ

GIÚP MÌNH VỚI, TOÁN 10, TKS

$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{2x2}+\sqrt[n]{2x2+1}$$\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x2}{1+x2}$

Phương trình vô tỉ

GIÚP MÌNH VỚI, TOÁN 10, TKS

$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1}= \sqrt[3]{2x2}+\sqrt[n]{2x2+1}$$\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x2}{1+x2}$

Phương trình vô tỉ

Chỉ có những khối óc đã được chuẩn bị mới có được những phát minh tình cờ.....!
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là $a;b;c$ và 3 đường cao đồng quy tại H.Tìm giá trị lớn nhất của $T=\frac{(HA+HB+HC)^2}{a^2+b^2+c^2}$

Bất đẳng thức

Chỉ có những khối óc đã được chuẩn bị mới có được những phát minh tình cờ.....!
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là $a;b;c$ và 3 đường cao đồng quy tại H.Tìm giá trị lớn nhất của $T=\frac{(HA+HB+HC)^2}{a^2+b^2+c^2}$P/s: Giải chi tiết đi nhé!!! Có bao nhiêu cách nhỉ???

Bất đẳng thức