1. Số phức dưới dạng lượng giác
a, Acgumen của số phức $z \ne 0$
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức $z \ne 0$. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số $z$. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
CHÚ Ý
Nếu $\varphi $ là một acgumen của z thì mọi acgumen của x có dạng $\varphi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
b, Dạng lượng giác của số phức
ĐỊNH NGHĨA 2
Dạng $z = r\left( {c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi } \right)$, trong đó r> 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức $z \ne 0$. Còn dạng ${\text{z}} = a + bi\,\,\,\,\,(a,b \in R)$ được gọi là dạng đại số của số phức z.
Nhận xét:
- Để tìm dạng lượng giác $r(c{\text{os}}\varphi + i\sin \varphi )$ của số phức ${\text{z}} = a + bi\,\,\,\,\,(a,b \in R)$ khác 0 cho trước, ta cần:
1) Tìm r: đó là mô-đun của z, $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức
2) Tìm $\varphi $: đó là 1 acgumen của z; $\varphi $ là số thực sao cho $c{\text{os}}\varphi = \frac{a}{r}$ và $\sin \varphi = \frac{b}{r}$; số $\varphi $ đó cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu Ox, tia cuối OM
CHÚ Ý
1, $\left| z \right| = 1$ khi và chỉ khi $z = c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi \,\,\,\,\,\,(\varphi \in \mathbb{R})$
2, Khi z = 0 thì $\left| z \right| = r = 0$ nhưng acgumen của x không xác định ( acgumen của 0 là số thực tùy ý)
3, Cần để ý đòi r>0 trong dạng lượng giác $r(c{\text{os}}\varphi + i\sin \varphi )$ của số phức $z \ne 0$
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lý:
Nếu
$\begin{gathered}
z = r(c{\text{os}}\varphi + i\sin \varphi ) \\
z = r'(c{\text{os}}\varphi ' + i\sin \varphi ')\,\,\,(r \geqslant 0,r' \geqslant 0) \\
\end{gathered} $
Thì
$\begin{gathered}
zz' = rr'{\text{[}}c{\text{os}}(\varphi + \varphi ') + i\sin (\varphi + \varphi ')] \\
\frac{z}{{z'}} = \frac{r}{{r'}}[\cos (\varphi ' - \varphi ) + i\sin (\varphi ' - \varphi )]\,\,\,\,\,\,\,(khi\,\,\,r > 0) \\
\end{gathered} $
3, Công thức Moa-vro và ứng dụng
a) Công thức Moa-vro
Với mọi số nguyên dương n:
${\left[ {r(c{\text{os}}\varphi {\text{ + i}}\sin \varphi )} \right]^n} = {r^n}(\cos n\varphi + {\text{i}}\sin n\varphi )$
Khi r=1 ta có:
${(c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi )^n} = \cos n\varphi + {\text{i}}\sin n\varphi $
Cả 2 công thức trên đều gọi là công thưc Moa-vro
b) Ứng dụng vào lượng giác:
Công thức khai triển lũy thừa bậc 3 của nhị thức $c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi $ cho ta:
${(c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi )^3} = c{\text{o}}{{\text{s}}^3}\varphi - 3\cos \varphi {\sin ^2}\varphi + i(3{\cos ^2}\varphi \sin \varphi - {\sin ^3}\varphi )$
Mặt khác theo công thưc Moa-vro:
${(c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi )^3} = c{\text{os}}3\varphi + {\text{i}}\sin 3\varphi $
Từ đó suy ra:
$\begin{gathered}
c{\text{os}}3\varphi = c{\text{o}}{{\text{s}}^3}\varphi - 3\cos \varphi {\sin ^2}\varphi = 4{\cos ^3}\varphi - 3\cos \varphi \\
\sin 3\varphi = 3{\cos ^2}\varphi \sin \varphi - {\sin ^3}\varphi = 3\sin \varphi - 4{\sin ^3}\varphi \\
\end{gathered} $
Tương tự, bằng cách đối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức $c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi $ với công thức Moa-vro, ta có thể biểu diễn $\cos n\varphi $ và $\sin n\varphi $ theo các lũy thừa của $c{\text{os}}\varphi $và $\sin \varphi $
c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Từ công thức Moa-vro, dễ thấy số phức $z = r(c{\text{os}}\varphi + {\text{i}}\sin \varphi ),\,\,r > 0$ có 2 căn bậc hai là:$\sqrt r (c{\text{os}}\frac{\varphi }{2} + {\text{i}}\sin \frac{\varphi }{2})$ và $ - \sqrt r (c{\text{os}}\frac{\varphi }{2} + {\text{i}}\sin \frac{\varphi }{2}) = \sqrt r \left( {c{\text{os}}(\frac{\varphi }{2} + \pi ) + {\text{i}}\sin (\frac{\varphi }{2} + \pi )} \right)$