BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ ĐA THỨC ĐỒNG
BIẾN, NGHỊCH BIẾN
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên $(a,b) \subset D\,\,\,khi\,\,\,f'(x) \geqslant
0,\forall x \in (a,b)$
* Hàm số nghịch biến trên $(a,b) \subset D\,\,\,khi\,\,\,f'(x) \leqslant
0,\forall x \in (a,b)$
2. Xét tam thức bậc hai $f(x) = {\text{a}}{{\text{x}}^{\text{2}}} + bx + c$, $a
\ne 0$
* ${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}
a > 0 \\
\Delta \leqslant 0 \\
\end{array} \right.$
* ${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c \leqslant 0 \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}
a < 0 \\
\Delta \leqslant 0 \\
\end{array} \right.$
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Cho hàm số $y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} + 3m(m - 2)x + 1$. Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R. $y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x + 3m(m - 2)$
a. Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 3 > 0 \\
\Delta ' = 6m + 9 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m \leqslant - \frac{3}{2} \\
\end{array} $
b. Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 3 < 0 \\
\Delta ' = 6m + 9 \leqslant 0 \\
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng)$
Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R
Bài 2.
Cho hàm số $y = {x^2}(m - x) - m$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = - {x^3} + m{x^2} - m$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow - {x^3} + m{x^2} - m \leqslant 0,\forall
x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = - 1 < 0 \\
\Delta = {m^2} \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m = 0 \\
\end{array} $
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Bài 3.
Cho hàm số $y = {x^3} - 2{x^2} + (m - 1)x + m + 3$. Tìm m để hàm số đồng biến
trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R. $y' = 3{x^2} -
4x + m - 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + m - 1 \geqslant 0,\forall x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 3 > 0 \\
\Delta ' = - 3m + 7 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m \geqslant \frac{7}{3} \\
\end{array} $
Vậy: Với $m \geqslant \frac{7}{3}$ thì yêu cầu bài toán được thỏa
Bài 4.
Cho hàm số $y = {x^2}(m - x) - mx + 6$. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
Lời giải:
TXĐ:
D = R. $y' = - 3{x^2} + 2mx - m$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 2mx - m \leqslant 0,\forall
x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = - 3 < 0 \\
\Delta = {m^2} - 3m \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 3 \\
\end{array} $
Vậy: Với $0 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 5.
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3(2m - 1)x + 1$. Tìm m để hàm số đồng biến
trên R
Lời giải:
TXĐ:
D = R
$y' = 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1)$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1) \geqslant 0,\forall
x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 1 > 0 \\
\Delta ' = {m^2} - 2m + 1 \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m = 1 \\
\end{array} $
Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 6.
Cho hàm số $y = - \frac{1}{3}{x^3} + (m - 1){x^2} + (m + 3)x + 4$. Tìm m
để hàm số luôn luôn giảm
Lời giải:
TXĐ:
D = R. $y' = - {x^2} + 2(m - 1)x + m
+ 3$
Hàm số luôn luôn giảm khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow - {x^2} + 2(m - 1)x + m + 3 \leqslant
0,\forall x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = - 1 < 0 \\
\Delta ' = {m^2} - m + 4 \leqslant 0 \\
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng) \\
\end{array} $
Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Bài 7.
Cho hàm số $y = {x^3} - m{x^2} + 3x - 1$. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ:
D = R
$y' = 3{x^2} - 2mx + 3$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 3 \geqslant 0,\forall x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 3 > 0 \\
\Delta ' = {m^2} - 9 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow - 3 \leqslant m \leqslant 3 \\
\end{array} $
Vậy: Với $ - 3 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 8.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 2(m - 1)x - 2$. Tìm m để hàm
số luôn tăng trên R
Lời giải:
TXĐ:
D = R
$y' = {x^2} - 2(m - 1)x + 2(m - 1)$
Hàm số luôn tăng trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow {x^2} - 2(m - 1)x + 2(m - 1) \geqslant 0,\forall
x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 1 > 0 \\
\Delta ' = (m - 1)(m - 3) \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow 1 \leqslant m \leqslant 3 \\
\end{array} $
Vậy: Với $1 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 9.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}(\sin m + \cos m){x^2} +
\frac{3}{4}x\sin 2m$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = {x^2} - (\sin m + \cos m)x + \frac{3}{4}\sin 2m$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow {x^2} - (\sin m + \cos m)x + \frac{3}{4}\sin 2m
\geqslant 0,\forall x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 1 > 0 \\
\Delta = 1 - 2\sin m \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow 1 - 2\sin m \leqslant 0 \\
\Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 2m
\leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
\Leftrightarrow - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \leqslant m
\leqslant \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
\end{array} $
Bài 10.
Cho hàm số $y = {x^3} + m{x^2} + 2x + 1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ:
D = R
$y' = 3{x^2} + 2mx + 2$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow 3{x^2} + 2mx + 2 \geqslant 0,\forall x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 3 > 0 \\
\Delta ' = {m^2} - 6 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow - \sqrt 6 \leqslant m \leqslant \sqrt
6 \\
\end{array} $
Vậy: Với $ - \sqrt 6 \leqslant m \leqslant \sqrt 6 $ thì điều kiện bài
toán được thỏa
Bài 11.
Cho hàm số $y = m{x^3} - (2m - 1){x^2} + (m - 2)x - 2$. Tìm m để hàm số luôn đồng
biến
Lời giải:
TXĐ: D =R
$y' = 3m{x^2} - 2(2m - 1)x + m - 2$
Trường hợp 1:
$m = 0 \Rightarrow y' = 2x - 2 \Rightarrow $ m = 0 không thỏa yêu càu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 3m > 0 \\
\Delta ' = {(2m - 1)^2} - 3m(m - 2) \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m > 0 \\
{m^2} + 2m + 1 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m > 0 \\
m = - 1 \\
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng) \\
\end{array} $
Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán
Bài 12.
Tìm m để hàm số $y = \frac{{m - 1}}{3}{x^3} + m{x^2} + (3m - 2)x$ luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ:
D = R
$y' = (m - 1){x^2} + 2mx + 3m - 2$
Trường hợp 1: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow y' = 2x + 1
\Rightarrow $ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$
Hàm số luôn đồng biến khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow (m - 1){x^2} + 2mx + 3m - 2 \geqslant 0,\forall
x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m - 1 > 0 \\
\Delta ' = - 2{m^2} + 5m - 2 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m \geqslant 2 \\
\end{array} $
Vậy: Với $m \geqslant 2$ thì yêu cầu bài toán được thỏa
Bài 13.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} + m{x^2} - x$. Tìm m để hàm số đã cho luôn
nghịch biến
Lời giải:
TXĐ:
D = R
$y' = - m{x^2} + 2mx - 1$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = - 1 < 0 \Rightarrow $ m = 0 thỏa
yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow - m{x^2} + 2mx - 1 \leqslant 0,\forall
x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = - m < 0 \\
\Delta ' = {m^2} - m \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m > 0 \\
0 \leqslant m \leqslant 1 \\
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng) \\
\end{array} $
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Bài 14.
Định m để hàm số $y = \frac{{1 - m}}{3}{x^3} - 2(2 - m){x^2} + 2(2 - m)x + 5$
luôn luôn giảm
Lời giải
TXĐ: D = R
$y' = (1 - m){x^2} - 4(2 - m)x + 4 - 2m$
Trường hợp 1: $m = 1 \Rightarrow y' = - 4x + 2 \leqslant 0
\Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{2}$ nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 1$
Hàm số luôn giảm khi $\left\{ \begin{array}
a = 1 - m < 0 \\
\Delta ' = 2{m^2} - 10m + 12 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m > 1 \\
2 \leqslant m \leqslant 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \leqslant m \leqslant 3$
Bài 15.
Cho hàm số $y = \frac{{m + 2}}{3}{x^3} - (m + 2){x^2} + (m - 8)x + {m^2} - 1$.
Tìm m để dồ thị hàm số nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = (m + 2){x^2} - 2(m + 2)x + m - 8$
Trường hợp 1: $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow y' = -
10 \Rightarrow $ m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne - 2$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow (m + 2){x^2} - 2(m + 2)x + m - 8 \leqslant
0,\forall x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = m + 2 < 0 \\
\Delta ' = {(m + 2)^2} - (m + 2)(m - 8) \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m < - 2 \\
\end{array} $
KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Bài 16.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}({m^2} - 1){x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 5$. Tìm m để
hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = ({m^2} - 1){x^2} + 2(m + 1)x + 3$
Trường hợp 1: ${m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$
* $m = 1 \Rightarrow y' = 4x + 3 \Rightarrow $ m = 1 không thỏa yêu cầu bài
toán
* $m = - 1 \Rightarrow y' = 3 > 0 \Rightarrow $ m = - 1 thỏa yêu cầu
bài toán
Trường hợp 2: ${m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow ({m^2} - 1){x^2} + 2(m + 1)x + 3 \geqslant 0
\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{m^2} - 1 > 0 \\
\Delta = - 2{m^2} + 2m + 4 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m < - 1 \vee m > 2 \\
\end{array} $
Vậy: Với $m \leqslant - 1 \vee m > 2$ thì bài toán được thỏa
Bài 17.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}(m + 3){x^3} - 2{x^2} + mx$. Tìm m để hàm số:
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = (m + 3){x^2} - 4x + m$
Trường hợp 1: $m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \Rightarrow y' = -
4x - 3 \Rightarrow $ m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne - 3$.
a. Hàm số luôn đồng biến khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow (m + 3){x^2} - 4x + m \geqslant 0,\forall x
\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = m + 3 > 0 \\
\Delta = - {m^2} - 3m + 4 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m \geqslant 1 \\
\end{array} $
b. Hàm số luôn nghịch biến khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow (m + 3){x^2} - 4x + m \leqslant 0,\forall x
\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = m + 3 < 0 \\
\Delta = - {m^2} - 3m + 4 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m \leqslant - 4 \\
\end{array} $
Bài 18.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x + \frac{1}{3}$.
Xác định giá trị m để hàm số đã cho nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = m{x^2} - 2(m - 1)x + 3(m - 2)$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = 2x - 6 \Rightarrow $ m = 0 không thỏa yêu
cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}
\Leftrightarrow m{x^2} - 2(m - 1)x + 3(m - 2) \leqslant 0,\forall
x \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = m < 0 \\
\Delta = - 2{m^2} + 4m + 1 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m \leqslant \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2} \\
\end{array} $
Bài 19.
Cho hàm số$y = \frac{1}{3}\left( {{m^2} + 2m} \right){x^3} + m{x^2} + 2x + 1$.
Xác định m để hàm số sau đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
Ta có: $y' = \left( {{m^2} + 2m} \right){x^2} + 2mx + 2$
Xét 2 trường hợp:
* ${m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
m = 0 \\
m = - 2 \\
\end{array} \right.$
+ m = 0 $ \Rightarrow $ $y' \geqslant 0,\forall x$ nên m = 0 thỏa yêu cầu bài
toán
+ m = - 2 $ \Rightarrow y' = - 4x + 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x
\leqslant \frac{1}{2}$ nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán
* ${m^2} + 2m \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
m \ne 0 \\
m \ne - 2 \\
\end{array} \right.$
Hàm số đồng biến trên R khi $\left\{ \begin{array}
a > 0 \\
{\Delta _{y'}} \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{m^2} + 2m > 0 \\
- {m^2} - 4m \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \leqslant - 4 \vee m
\geqslant 0$
Vậy với $m \leqslant - 4 \vee m \geqslant 0$ thì điều kiện bài toán được
thỏa