|
|
Không mất tính tổng quát, giả sử $2 \geq a \geq b \geq c \geq 0$
Đặt $a = 1 + x$; $c= 1 - y$; do đó, $b=1+y-x$
Đồng thời, ta cũng thu được, $0 \leq x ; y \leq 1$
Cần phải chứng minh: Có, $A=a^3+b+3+c^3$
Hay, $A=(1+x)^3+(1-y)^3+(1+y-x)^3$
$=x^3+3x^2+3x+1+1-3y+3y^2-y^3+1+3.(y-x)+3.(y-x)^2+(y-x)^3$
$=x^3+3x^2+3x+1+1-3y+3y^2-y^3+1+3y-3x+3y^2-6xy+3y^2+y^3-3y^2x+3yx^2-x^3$
$=6x^2+6y^2-6xy+3-3y^2x+3yx^2$
Mà $x,y\epsilon[0;1]$ nên $x^2 \leq x;y^2 \leq y$
$A=3.(2x^2+2y^2-2xy+1-xy(y-x))$
Xét $B=2x^2+2y^2-2xy+1-xy(y-x)$
$B-3 \leq 2x^2+2y^2-4xy-xy(y-x)=(y-x)(2y-2x-xy)$
Dễ dàng cm $B-3\leq0$ nên, $A\leq 9$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y=x=1$ hay $a=2;b=1;c=0$
|