Điều kiện của phương trình $x\geq-2$.Phương trình đã cho tương đương với $(x+|x|\sqrt{x+3})(\sqrt{x^2+1}-1)=x^2\sqrt{x+2}$;
hay $(x+|x|\sqrt{x+3})x^2=x^2\sqrt{x+2}(\sqrt{x^2+1}+1)$;
suy ra $x=0$ hoặc $(x+|x|\sqrt{x+3})=\sqrt{x+2}(\sqrt{x^2+1}+1)$ (1).
i/ Trường hợp $x\geq0$.
Khi đó (1) tương đương với $(x+x\sqrt{x+3})=\sqrt{x+2}(\sqrt{x^2+1}+1)$;
hay $x(1+\sqrt{x+3})=\sqrt{x+2}(\sqrt{x^2+1}+1)$ (1.1).
Rõ ràng $x=0$ không là nghiệm của (1.1). Do đó chỉ xét $x\neq0$, cùng với điều kiện đang xét thì được $x>0$.
Khi đó (1.1) tương đương với $\sqrt{1+\frac{1}{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}}=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}$ (1.2).
Vì hàm số $f(t)=\sqrt{1+t^2}+t,\forall t>0$ có $f'(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}+1>0,\forall t>0$ nên $f$ đồng biến với $t>0$.
Do đó (1.2) tương đương với $f(\frac{1}{\sqrt{x+2}})=f(\frac{1}{x})$, hay $\frac{1}{\sqrt{x+2}}=\frac{1}{x}$; hay $x^2-x-2=0$;
hay $x=-1\vee x=2$. Vì $x>0$ nên chỉ lấy $x=2$.
Thành thử $x=2$ là nghiệm duy nhất của (1) trong trường hợp này.
ii/ Trường hợp $-2\leq x<0$.
Khi đó (1) tương đương với $(x-x\sqrt{x+3})=\sqrt{x+2}(\sqrt{x^2+1}+1)$
hay $x(1-\sqrt{x+3})=\sqrt{x+2}(\sqrt{x^2+1}+1)$;
hay $(-x)(\sqrt{x+3}-1)=\sqrt{x+2}(\sqrt{x^2+1}+1)$ (2.1).
Vì $x\geq -2$ nên $\sqrt{x+3}-1\geq 0$ và $-x<|x|+1<\sqrt{x^2+1}+1$. Từ đó suy ra
$(-x)(\sqrt{x+3}-1)\leq (\sqrt{x^2+1}+1)(\sqrt{x+3}-1)$
$\leq (\sqrt{x^2+1}+1)(\sqrt{(x+2)+1}-1)$
$\leq (\sqrt{x^2+1}+1)(\sqrt{x+2}+1-1)$
$\leq (\sqrt{x^2+1}+1)\sqrt{x+2}$.
Cho nên $(-x)(\sqrt{x+3}-1)\leq \sqrt{x+2}(\sqrt{x^2+1}+1)$.
Từ kết quả trên cho thấy (2.1) tương đương với $x=-2$.
Suy ra $x=-2$ là nghiệm duy nhất của (1) trong trường hợp này.
Thành thử, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt, đó là $x=0,x=\pm2$.