Điều kiện của phương trình x≥−2.Phương trình đã cho tương đương với (x+|x|√x+3)(√x2+1−1)=x2√x+2;
hay (x+|x|√x+3)x2=x2√x+2(√x2+1+1);
suy ra x=0 hoặc (x+|x|√x+3)=√x+2(√x2+1+1) (1).
i/ Trường hợp x≥0.
Khi đó (1) tương đương với (x+x√x+3)=√x+2(√x2+1+1);
hay x(1+√x+3)=√x+2(√x2+1+1) (1.1).
Rõ ràng x=0 không là nghiệm của (1.1). Do đó chỉ xét x≠0, cùng với điều kiện đang xét thì được x>0.
Khi đó (1.1) tương đương với √1+1x+2+1√x+2=√1+1x2+1x (1.2).
Vì hàm số f(t)=√1+t2+t,∀t>0 có f′(t)=t√1+t2+1>0,∀t>0 nên f đồng biến với t>0.
Do đó (1.2) tương đương với f(1√x+2)=f(1x), hay 1√x+2=1x; hay x2−x−2=0;
hay x=−1∨x=2. Vì x>0 nên chỉ lấy x=2.
Thành thử x=2 là nghiệm duy nhất của (1) trong trường hợp này.
ii/ Trường hợp −2≤x<0.
Khi đó (1) tương đương với (x−x√x+3)=√x+2(√x2+1+1)
hay x(1−√x+3)=√x+2(√x2+1+1);
hay (−x)(√x+3−1)=√x+2(√x2+1+1) (2.1).
Vì x≥−2 nên √x+3−1≥0 và −x<|x|+1<√x2+1+1. Từ đó suy ra
(−x)(√x+3−1)≤(√x2+1+1)(√x+3−1)
≤(√x2+1+1)(√(x+2)+1−1)
≤(√x2+1+1)(√x+2+1−1)
≤(√x2+1+1)√x+2.
Cho nên (−x)(√x+3−1)≤√x+2(√x2+1+1).
Từ kết quả trên cho thấy (2.1) tương đương với x=−2.
Suy ra x=−2 là nghiệm duy nhất của (1) trong trường hợp này.
Thành thử, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt, đó là x=0,x=±2.