nếu $ab=1$ bđt $\Leftrightarrow a^{a}.(\frac{1}{a})^{1/a}\geq a^{1/a}.(\frac{1}{a})^{a}$
$\Leftrightarrow a^{a-\frac{1}{a}}\geq a^{\frac{1}{a}-a} (*)$.
khi a=1 (*) đúng.
khi a>1. (*)$\Leftrightarrow a-\frac{1}{a}\geq \frac{1}{a}-a\Leftrightarrow a^{2}\geq 1$ (đúng) $\Rightarrow (*) đúng$
khi a<1 (*) $\Leftrightarrow a-\frac{1}{a}\leq \frac{1}{a}-a\Leftrightarrow a^{2}<1$(đúng) $\Rightarrow (*) đúng$
vậy a.b=1 thì bđt đúng.
Nếu ab>1 ta loga cơ số a.b 2 vế ta được
$(a-b)log_{ab}a\geq (a-b)log_{ab}b(**)$
khi a=b thì (**) đúng.
khi a>b (**) $\Leftrightarrow log_{ab}a>log_{ab}b\Leftrightarrow a>b\Rightarrow (**) đúng$
khi a<b (**) $\Leftrightarrow log_{ab}a<log_{ab}b\Leftrightarrow a<b\Rightarrow (**) đúng$
nếu ab<1 ta cũng làm tương tự sẽ được đpcm.