nếu ab=1 bđt ⇔aa.(1a)1/a≥a1/a.(1a)a
⇔aa−1a≥a1a−a(∗).
khi a=1 (*) đúng.
khi a>1. (*)⇔a−1a≥1a−a⇔a2≥1 (đúng) \Rightarrow (*) đúng
khi a<1 (*) \Leftrightarrow a-\frac{1}{a}\leq \frac{1}{a}-a\Leftrightarrow a^{2}<1(đúng) \Rightarrow (*) đúng
vậy a.b=1 thì bđt đúng.
Nếu ab>1 ta loga cơ số a.b 2 vế ta được
(a-b)log_{ab}a\geq (a-b)log_{ab}b(**)
khi a=b thì (**) đúng.
khi a>b (**) \Leftrightarrow log_{ab}a>log_{ab}b\Leftrightarrow a>b\Rightarrow (**) đúng
khi a<b (**) \Leftrightarrow log_{ab}a<log_{ab}b\Leftrightarrow a<b\Rightarrow (**) đúng
nếu ab<1 ta cũng làm tương tự sẽ được đpcm.