bđt đỉnh cao. =)

Question

CMR

$a^{a}.b^{b}\geq a^{b}.b^{a}$

$\forall a,b>0$

Bùi Cao Thắng · Answer 1 · 4/4/2016 9:49:48 PM

nếu $ab=1$ bđt $\Leftrightarrow a^{a}.(\frac{1}{a})^{1/a}\geq a^{1/a}.(\frac{1}{a})^{a}$

$\Leftrightarrow a^{a-\frac{1}{a}}\geq a^{\frac{1}{a}-a} (*)$ .

khi a=1 (*) đúng.

khi a>1. (*) $\Leftrightarrow a-\frac{1}{a}\geq \frac{1}{a}-a\Leftrightarrow a^{2}\geq 1$ (đúng) $\Rightarrow (*) đúng$

khi a<1 (*) $\Leftrightarrow a-\frac{1}{a}\leq \frac{1}{a}-a\Leftrightarrow a^{2}<1$ (đúng) $\Rightarrow (*) đúng$

vậy a.b=1 thì bđt đúng.

Nếu ab>1 ta loga cơ số a.b 2 vế ta được

$(a-b)log_{ab}a\geq (a-b)log_{ab}b(**)$

khi a=b thì (**) đúng.

khi a>b (**) $\Leftrightarrow log_{ab}a>log_{ab}b\Leftrightarrow a>b\Rightarrow (**) đúng$

khi a<b (**) $\Leftrightarrow log_{ab}a<log_{ab}b\Leftrightarrow a<b\Rightarrow (**) đúng$

nếu ab<1 ta cũng làm tương tự sẽ được đpcm.

1 Đáp án