Từ điều kiện suy ra $a,b,c\geq 1$. Vì $0<2a-1\leq a^2$ nên $\frac{a}{2a-1}\geq \frac{1}{a}$.
Chứng minh tương tự thì có $\frac{b}{2b-1}\geq \frac{1}{b}$ và $\frac{c}{2c-1}\geq \frac{1}{c}$.
Từ đó có $\frac{a}{2a-1}+\frac{b}{2b-1}+\frac{c}{2c-1}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$ (1)
Lại có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}.$ (2)
Vì $a,b,c\geq1$ nên $\left ( a-1\right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1\right )\left ( c-1 \right )+\left ( c-1 \right )\left ( a-1 \right )\geq 0$. Suy ra
$\frac{9}{a+b+c}\geq \frac{18}{3+ab+bc+ca}.$ (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) thì được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$. $\triangle$