Sáng tạo Bất đẳng thức ( VD 1.1.4)

Question

Giả sử

$a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số thực dương sao cho :

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=n$
Chứng minh với mọi số nguyên dương ta có bất đẳng thức :

$a^{k}_{1} + {a_{2}}^{k}+...+ a^{k}_{n} \geq a^{k-1}_{1}+ a^{k-1}_{2}+...+ a^{k-1}_{n}$

score 5 · Answer 1

Nếu

$k=1$ thì bất đẳng thức đương nhiên đúng.

Giả sử

$k>2$ . Không mất tính tổng quát khi coi

$a_{1}\geq a_{2}\geq...\geq a_{n}$ . Khi đó kiểm tra dễ dàng và có

$a^{k-1}_{1}\geq a^{k-1}_{2}\geq...\geq a^{k-1}_{n}$ .

Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra

$a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k}_{n}\geq \frac{1}{n}(a_{1}+ a_{2}+...+a_{n})(a^{k-1}_{1}+a^{k-1}_{2}+...+a^{k-1}_{n})$ ;

hay

$a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k-1}_{n}\geq a^{k-1}_{1}+a^{k-1}_{2}+...+a^{k-1}_{n}$ .

Đẳng thức xảy ra khi

$a_{1}= a_{2}=...=a_{n}=1$ .

1 Đáp án