Xét $c=0,$ ta có: $\mathbb F=0.$Xét $c \neq 0,$ ta có:
$\frac{\mathbb F}{9}=\frac{ac+2bc+c^2}{a^2+b^2+7c^2}=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+7}$ (với $x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}$)
Nếu $x+2y+1>0, $ ta có: $\frac{\mathbb F}{9}>0\Rightarrow \mathbb F >0.$
Nếu $x+2y+1<0, $ ta có: $\frac{\mathbb F}{9}<0\Rightarrow \mathbb F <0.$
Mặt khác:
$(25x^2+49)+(25y^2+196)-70 \geq -70(x+2y+1)$
Do đó:
$\frac{\mathbb F}{9}=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+7}=\frac{25(x+2y+1)}{25(x^2+y^2+7)} \geq \frac{25(x+2y+1)}{-70(x+2y+1)}=-\frac{5}{14}$
$\Rightarrow \mathbb F \geq -\frac{45}{14}.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$\begin{cases}x=-\frac{7}{5} \\ y=-\frac{14}{5} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{a}{c}=-\frac{7}{5} \\ \frac{b}{c}=-\frac{14}{5}\\ a^2+b^2+7c^2=9 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{\sqrt{105}}{10} \\ b=\frac{\sqrt{105}}{5} \\ c=-\frac{\sqrt{105}}{14} \end{cases}$
KL: $\color{red}{\boxed{\min \mathbb F=-\frac{45}{14}}}$ tại $\color{red}{\boxed{a=\frac{\sqrt{105}}{10};b=\frac{\sqrt{105}}{5};c=-\frac{\sqrt{105}}{14}.}}$