Bất đẳng thức

Question

CMR

$|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|+|x+y+z|\geq2(|x|+|y|+|z|)$

score 1 · Answer 1

Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấu

Giả sử là x và y

TH1 x,y,z cùng dấu

theo BĐT

$|a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$

$(1)$ với dấu

$=$ tại

$a,b,c$ cùng dấu thì

$=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$

$(*)$

Ta lại có Áp dụng BĐT

$|a|+|b|\geq |a+b|$

$(2)$

$|x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$

$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó =>

$|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$

$(**)$

Từ (*) và (**) => đpcm

TH2 x,y,-z cùng dấu, theo

$(1)$ thì

$|x+y-z|=|x|+|y|+|z|$

$(***)$

Áp dụng

$(2)$

$|x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$

$|x+y+z|+|-x+y+z|=|x+y+z|+|x-y-z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó suy ra

$|x+y+z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$

$(****)$

Từ (***) và (****) suy ra đpcm

Dấu = xảy ra tại

$(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y+z)\geq 0$

score 2 · Answer 2

Đặt

$a=x+y-z,b=y+z-x,c=z+x-y$ .Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 số

$a,b,c$ luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng dấu chẳng hạn là

$a.b\geq0$ .Khi đó ta có đẳng thức:

$\left| {a} \right|+\left| {b} \right|=\left| {a+b} \right|=2\left| {y} \right|$

Ta có:

$x+y+z=a+b+c;2x=a+c;2z=b+c$

Do vậy ta cần chứng minh:

$\left| {c} \right|+\left| {a+b+c} \right|\geq \left| {a+c} \right|+\left| {b+c} \right|$ (với

$a.b\geq0$ )

$\Leftrightarrow \left| {c} \right|.\left| {a+b+c} \right|+ab\geq\left| {a+c} \right|.\left| {b+c} \right|$

$\Leftrightarrow \left| {c(a+b+c)} \right|+ab\geq \left| {c(a+b+c)+ab} \right|(*)$

Đặt

$m=c(a+b+c),n=ab\Rightarrow \left| {ab} \right|=ab$ (a,b cùng dấu)

$BĐT(*) \Leftrightarrow \left| {m} \right|+\left| {n} \right|\geq \left| {m+n} \right|\Leftrightarrow \left| {mn} \right|\geq mn$

Dấu bằng xảy ra khi trong các số

$a,b,c ,a+b+c$ chia làm 2 cặp cùng dấu.Chẳng hạn:

$ab\geq0,c(a+b+c)\geq 0$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 3 · 1/2/2015 1:22:42 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Chú ý:

$\left| a{} \right|=\left|-a {} \right|$

$\left| x-y-z{} \right|+\left| x+y+z{} \right|\ge 2\left| x{} \right|$

$\left|x-y+z {} \right|+\left| {} -x-y+z\right|\ge 2\left| z-y{} \right|$

Tương tự rồi cộng lại ta có:

$P\ge2\sum\left|z-y {} \right|+2\sum\left|x{} \right|$

Và:

$\sum\left|z-y {} \right|\ge 0$

Vậy ta có đpcm

lịch sử

Sửa 02-01-15 01:22 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

Trả lời 02-01-15 01:19 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

anh ơi |x-y-z|=|-x y z| chớ – ahihi 21-01-15 09:49 PM

e chưa hiểu lắm, thế thì VT phải mất 3 lần sao a – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 02-01-15 01:36 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 4 · 1/21/2015 9:46:37 PM

Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấu

Giả sử là x và y

TH1 x,y,z cùng dấu

theo BĐT

$|a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$

$(1)$ với dấu

$=$ tại

$a,b,c$ cùng dấu thì

$=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$

$(*)$

Ta lại có Áp dụng BĐT

$|a|+|b|\geq |a+b|$

$(2)$

$|x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$

$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó =>

$|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$

$(**)$

Từ (*) và (**) => đpcm

TH2 x,y,-z cùng dấu, theo

$(1)$ thì

$|x+y-z|=|x|+|y|+|z|$

$(***)$

Áp dụng

$(2)$

$|x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$

$|x+y+z|+|-x+y+z|=|x+y+z|+|x-y-z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó suy ra

$|x+y+z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$

$(****)$

Từ (***) và (****) suy ra đpcm

Dấu = xảy ra tại

$(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y+z)\geq 0$

Hỏi	01-01-15 04:45 PM
Lượt xem	3040
Hoạt động	04-02-15 10:12 PM

Bất đẳng thức

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan