BDT nè

Question

Cho x,y là các số thực thỏa mãn x,y >1. Tìm min P= $\frac{(x^{3}+y^{3})- (x^{2}+ y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Có thế này thôi mà cứ làm phức tạp hóa vấn đề:

$P=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y-2}=m$

Chứng minh $m\geq8\Leftrightarrow (x+y)^2-8(x+y)+16\geq 0\Leftrightarrow (x+y-4)^2\geq 0$(Đúng)

xem giúp mình cái mình vừa ? nhé – maithuyfr 13-12-14 06:18 AM

BĐT Svac-xơ – WhjteShadow 12-12-14 10:09 PM

chỗ P >= fđấy bạn làm tn vậy. mÌnh làm theo hướng của bạn ra <= mà – maithuyfr 12-12-14 09:27 PM

phihuyen97 · Answer 2 · 12/10/2014 11:36:59 PM

$P\geqslant \frac{(x+y)^{3}-3xy(x+y)-(x+y)^{2}+2xy}{\left ( \frac{x+y-2}{2} \right )^{2}}=\frac{(x+y)^{3}-(x+y)^{2}+\left[ {2-3(x+y)} \right]xy}{\left ( \frac{x+y-2}{2} \right )^{2}}$

do x>1,y>1 nên x+y>2$\Rightarrow $-3(x+y)<6$\Rightarrow $2-3(x+y)<-4<0

$\Rightarrow [2-3(x+y)]xy\geqslant [2-3(x+y)]xy\geqslant [2-3(x+y)]\left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{(x+y)^{3}-2(x+y)^{2}}{(x+y-2)^{2}}$

đặt t=x+y, t>2

xét hàm số $f(t)=\frac{t^{3}-2t^{2}}{(t-2)^{2}}$ với t>2

$f^{'}(t)=\frac{t^{4}-8t^{3}+20t^{2}-16t}{(t-2)^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ {} \right.\begin{matrix} t=0,t=2,(loại)\\ t=4,(nhận) \end{matrix}$

bảng biến thiên

$t$ 2 4 $+\infty$

$f^{'}(t)$ || - 0 +

$+\infty $ $+\infty $

$f(t)$ || 8

căn cứ bảng biến thiên MinP=8 khi t=4$\Leftrightarrow $x=y=2

maithuyfr · Answer 3 · 12/13/2014 6:17:03 AM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

mìnhh tim hieu cach cminh svacxo ,thay họ cm qua bunhia thì hiểu

nhưng tại sao mình dùng cosi chứng minh thì ra dấu ngược lại, c xem giúp mình .

co si 2 số dương ta đc

$p\geq 2\frac{xy}{\sqrt{(x-1)(y-1)}}\geq 2.\frac{2xy}{x+y-2}= \frac{4xy}{x+y-2}$
mà $4xy\leq (x+y)^{2}$
c xem sai chỗ nào

Cứ hiểu nôm na kiểu như sau:

3>1 và 1<2.

Cái bạn tìm đc vẫn chưa phải cận gần nhất của P.dù bạn có $4xy\leq(x+y)^2$ thì sao? Không thể bắc cầu như vậy được.

Dù $P\geq \frac{4xy}{x+y-2}$ và $4xy\leq (x+y)^2$ vẫn chưa đủ để ta khẳng định $P\leq\frac{(x+y)^2}{x+y-2}$ rất có thể rằng $P\geq \frac{(x+y)^2}{x+y-2}$ với lại nếu bạn muốn bắc cầu thì phải kiểu như a>b,b>c chứ nếu ta có a>c,b>c là không đủ dể khẳng định a<b.

lịch sử

Trả lời 13-12-14 06:17 AM

maithuyfr
1

21K 17K