Câu 8.Đk: x≥−2
Pt ⇔(x+1)(√x+2−2)+(x+6)(√x+7−3)−(x2+2x−8)≥0
⇔(x+1)(x−2)√x+2+2+(x+6)(x−2)√x+7+3−(x−2)(x+4)≥0
⇔(x−2)(x+1√x+2+2+x+6√x+7+3−x−4)≥0 (∗)
Xét f(x)=x+1√x+2+2+x+6√x+7+3−x−4 trên [−2;+∞)
Ta có:
−13≤x+1√x+2+2≤0 và
4√6+3≤x+6√x+2+2≤5√5+3 và
2≤x+4≤3⇒f(x)≤0+5√5+3−2<0
Ta có:
x+1√x+2+2≤x+13 và
x+6√x+7+3≤x+63+√6⇒f(x)≤x+13+x+63+√6−x−4
Xét g(x)=x+13+x+63+√6−x−4 trên [−1;+∞)
g′(x)=13+13+√6−1<0,∀x∈[−1;+∞)
⇒Hàm số nghịch biến trên [−1;+∞)
g(x)≤g(−1)=53+√6−3<0⇒f(x)≤g(x)<0∀x∈[−2;+∞)
⇒(Shift8)⇔x−2≤0⇔x≤2
Kết hợp với đk ta được: −2≤x≤2
C2:
Ta có:
x+1√x+2+2+x+6√x+7+3<x+12+x+63=5x+156=x+4−x+96<x+4,∀x≥−2Vậy (∗)⇔x−2≤0⇔x≤2. Kết hợp với điều kiện suy ra: −2≤x≤2