|
|
Trước hết dùng BĐT AM-GM dễ chứng minh được các BĐT sau
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{x+y+z} \qquad \forall x,y,z >0.$
và
$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2\Rightarrow \dfrac{9}{x+y+z} \ge \dfrac{ 3(x+y+z)}{x^2+y^2+z^2}\qquad \forall x,y,z >0.$
Áp dụng ta có
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}\geq\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
Chú ý BDT
$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx)$
được chứng minh bằng phuơng pháp AM-GM như sau
$\begin{cases}x^2+y^2 \ge 2xy \\ z^2+y^2 \ge 2zy \\ x^2+z^2 \ge 2xz \end{cases}$
Cộng theo từng vế ta có đpcm.
|