|
|
Trước hết dùng BĐT AM-GM dễ chứng minh được các BĐT sau
1x+1y+1z≥9x+y+z∀x,y,z>0.
và
3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2⇒9x+y+z≥3(x+y+z)x2+y2+z2∀x,y,z>0.
Áp dụng ta có
1a+b+1b+c+1c+a≥92(a+b+c)≥3(a+b+c)2(a2+b2+c2)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Chú ý BDT
3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2⇔2(x2+y2+z2)≥2(xy+yz+zx)
được chứng minh bằng phuơng pháp AM-GM như sau
{x2+y2≥2xyz2+y2≥2zyx2+z2≥2xz
Cộng theo từng vế ta có đpcm.
|