Bài 1 có thể tổng quát được , hi vọng bạn thích lời giải nàyVới mọi $x,y,z$ là 3 cạnh của một tam giác thì
$P=\frac{1}{x}cosA+\frac{1}{y}cosB+\frac{1}{z}cosC\le \frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz} (1)$
Bài toán ban đầu ứng với $x=3,y=4,z=5$
Chứng minh như sau
$(1)\Leftrightarrow 2yzcosA+2xzcosB+2xycosC\le x^2+y^2+z^2$
$f(x)=x^2-2x(zcosB+ycosC)+y^2+z^2-2yzcosA\ge 0$
$\Delta'=(zcosB+ycosC)^2-(y^2+z^2-2yzcosA)$
$=z^2cos^2B+y^2cos^2C-y^2-z^2+2yzcosBcosC+2yzcosA$
$=-z^2sin^2B-y^2sin^2C+2yz(cosBcosC+cosA)$
$=-z^2sin^2B-y^2sin^2C+2yz(cosBcosC-cos(B+C))$
$=-z^2sin^2B-y^2sin^2C+2yzsinBsinC$
$=-(zsinB-ysinC)^2\le 0$
Vậy $f(x)\ge 0$
Dấu bằng có $\Leftrightarrow \frac{sinA}{x}=\frac{sinB}{y}=\frac{sinC}{z}$