Câu a.Theo định lý Viete {x1+x2=6x1.x2=1
Từ đây ta có
S1=x1+x2=6
S2=x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=34
Ta sẽ chứng minh nếu Sn,Sn+1∈Z thì Sn+2∈Z
x21=6x1−1⇒xn+21=6xn+11−xn1
x22=6x2−1⇒xn+22=6xn+12−xn2
⇒Sn+2=6Sn+1−Sn∈Z
Vậy Sn∈Z∀n
Câu b.
Câu này khá phức tạp
Theo câu a , Sn+2=6Sn+1−Sn≡Sn+1−Sn(mod5)
Nghĩa là số dư của Sn+2 khi chia cho 5 chính là số dư của Sn+1−Sn khi chia cho 5
Ta có dãy số dư như sau
S1=6≡1
S2=34≡4
S3≡4−1≡3
S4≡3−4≡4
S5≡4−3≡1
S6≡1−4≡2
S7≡2−1≡1
S8≡1−2≡4
S9≡4−1≡3
Vậy ta có thể thấy là cứ 6 số một lần thì số dư lại lặp lại
S1≡S7,S2≡S8,S3≡S9
Và vì Sn+2≡Sn+1−Sn nên quy luật này được duy trì mãi
Do đó
S6k≡S6≡2
S6k+1≡S1≡1
...
S6k+5≡S5≡1