Câu a.Theo định lý Viete $\begin{cases}x_1+x_2=6 \\ x_1.x_2=1 \end{cases}$
Từ đây ta có
$S_1=x_1+x_2=6$
$S_2=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=34$
Ta sẽ chứng minh nếu $S_n , S_{n+1}\in Z$ thì $S_{n+2}\in Z$
$x_1^2=6x_1-1\Rightarrow x_1^{n+2}=6x_1^{n+1}-x_1^n$
$x_2^2=6x_2-1\Rightarrow x_2^{n+2}=6x_2^{n+1}-x_2^n$
$\Rightarrow S_{n+2}=6S_{n+1}-S_n\in Z$
Vậy $S_n\in Z \forall n$
Câu b.
Câu này khá phức tạp
Theo câu a , $S_{n+2}=6S_{n+1}-S_n\equiv S_{n+1}-S_n (mod5)$
Nghĩa là số dư của $S_{n+2}$ khi chia cho $5$ chính là số dư của $S_{n+1}-S_n$ khi chia cho $5$
Ta có dãy số dư như sau
$S_1=6\equiv 1$
$S_2=34\equiv 4$
$S_3\equiv 4-1\equiv 3$
$S_4\equiv 3-4\equiv 4$
$S_5\equiv 4-3\equiv 1$
$S_6\equiv 1-4\equiv 2$
$S_7\equiv 2-1\equiv 1$
$S_8\equiv 1-2\equiv 4$
$S_9\equiv 4-1\equiv 3$
Vậy ta có thể thấy là cứ $6$ số một lần thì số dư lại lặp lại
$S_1\equiv S_7 , S_2\equiv S_8 , S_3\equiv S_9$
Và vì $S_{n+2}\equiv S_{n+1}-S_n$ nên quy luật này được duy trì mãi
Do đó
$S_{6k}\equiv S_6\equiv 2$
$S_{6k+1}\equiv S_1\equiv 1$
...
$S_{6k+5}\equiv S_5\equiv 1$