Bài toán về nghiệm của PT bậc hai

Question

Cho tam thức bậc hai:

$f(x)=(m-1)x^2-2mx+m-4$
a) Biện luận theo

$m$ số nghiệm và dấu của các nghiệm của phương trình

$f(x)=0$ .
b) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình

$f(x)=0$ , độc lập với tham số

$m$ .
c) Với giá trị nào của

$m$ thì bất phương trình

$f(x)<0$ luôn được nghiệm với mọi

$x$ ?

score 8 · Answer 1

a) Ta có :

$\Delta' = 5m-4, S=\frac{2m}{m-1}, P=\frac{m-4}{m-1}$ .
Kết quả:

$m<\frac{4}{5}$ : Phương trình vô nghiệm.

$m=\frac{4}{5}$ : Phương trình có nghiệm kép

$x_1=x_2=-4$

$\frac{4}{5}<m<1$ : phương trình có hai nghiệm âm (ứng với điều kiện

$S<0, P>0$ ).

$m=1$ : Phương trình có nghiệm duy nhất

$x=-\frac{3}{2}$ .

$1<m<4$ : Phương trình có nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (ứng với điều kiện

$S>0, P<0$ ).

$m=4$ : Phương trình có hai nghiệm

$x_1=0; x_2=\frac{8}{3}$ .

$m>4$ : Phương trình có hai nghiệm dương (ứng với điều kiện

$S>0, P>0$ ).

b) Với

$m \neq 1$ , ta có

$S=\frac{2m}{m-1} \Rightarrow S=2+\frac{2}{m-1}$

$P=\frac{m-4}{m-1} \Rightarrow P=1-\frac{3}{m-1}$
cho ta:

$3S+2P-8=0$ .
Hệ thức cần tìm là:

$3(x_1+x_2)+2x_1x_2-8=0.$
c) Điều kiện:

$\begin{cases}\Delta'<0 \\ a< 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}5m-4<0 \\ m-1<0 \end{cases} \Leftrightarrow m<\frac{4}{5}$ .

1 Đáp án