Phương trình lượng giác(tt).

Question

Giải phương trình: $2\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}$

score 3 · Answer 1

Trước hết ta biến đổi vế trái

$2sin(3x+\frac{\pi}{4})=2(sin3x.cos\frac{\pi}{4}+cos3x.sin\frac{\pi}{4})$

$=\sqrt2(sin3x+cos3x)$

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có

$2(sin3x+cos3x)^2=1+8sin2x.cos^22x$

$\Rightarrow 2(sin^23x+cos^23x+2sin3x.cos3x)=1+8sin2x.cos^22x$

$\Rightarrow 2(1+sin6x)=1+8sin2x.cos^22x$

$\Rightarrow 1+2sin6x=8sin2x.cos^22x (1)$

Áp dụng công thức góc nhân

$3$

$sin3a=sina.(4cos^2a-1)$

(Bạn có thể tự chứng minh bằng cách tách

$3a=a+2a$ )

Ta có

$sin6x=sin2x.4cos^22x-sin2x$

$\Rightarrow 2sin6x=8sin2x.cos^22x-2sin2x$

Thay vào

$(1)$

$\Rightarrow 1-2sin2x=0$

$\Rightarrow sin2x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi , \frac{5\pi}{6}+2k\pi$

$\Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+k\pi , \frac{5\pi}{12}+k\pi$

Bây giờ ta kiểm tra lại điều kiện

$sin(3x+\frac{\pi}{4})\ge0$ mà ta đã dùng để bình phương

Khi

$x=\frac{\pi}{12}+k\pi$

$sin(3x+\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{2}+3k\pi)=1$ khi

$k$ chẵn ,

$-1$ khi

$k$ lẻ

Khi

$x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$

$sin(3x+\frac{\pi}{4})=sin(\frac{3\pi}{2}+3k\pi)=-1$ khi

$k$ chẵn ,

$1$ khi

$k$ lẻ

Kết luận

$x=\frac{\pi}{12}+k\pi$ với

$k$ nguyên chẵn

$x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$ với

$k$ nguyên lẻ

cách bạn đúng nhưng vẫn dài, ta có thể tách vế phải thành 1 4sin2x(1 cos4x)= 1 4sin2x 4sin2xcos4x=1 4sin2x -2sin2x 2sin6xnhư vậy ta pt tương đương với2 2sin6x=1 4sin2x-2sin2x 2sin6x=> 2sin2x=1rồi sau đó làm tiếp như bạn

Hỏi	15-06-13 09:40 PM
Lượt xem	1350
Hoạt động	15-06-13 10:26 PM

Phương trình lượng giác(tt).

Giải phương trình: $2\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}$

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Phương trình lượng giác(tt).

Giải phương trình: 2sin(3x+π4)=√1+8sin2xcos22x2\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

Giải phương trình: $2\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}$